Genesi spaziale delle trasformazioni piane

N.B. - Per una introduzione intuitiva dell'argomento si consiglia la lettura di questo post.
Le diverse geometrie studiate finora, e cioè la geometria dell'uguaglianza, che si studia in parte alle scuole elementari e in parte alle scuole medie, la geometria della similidudine, che si studia in parte alle scuole medie e in parte alle scuole superiori, e che insieme sono dette anche geometria della congruenza e, infine, la geometria dell'affinità, che si studia alle scuole superiori, sono tutte ricomprese all'interno della geometria proiettiva in quanto quest'ultima ha un minor numero di caratteri invarianti che, detto in parole povere, vuol dire ha meno "regole". Se apparentemente sembrerebbe una geometria più "semplice" delle altre, in realtà è più complessa, ed è per questo che viene trattata nei corsi di studio superiori, dapprima nella scuola secondaria di secondo grado nella forma del disegno di prospettiva e, poi, all'università sia nella forma grafica che in quella analitica.
Come mostrato sinteticamente nelle due figure, le differenze sono dovute alla diversa disposizione reciproca del centro di omologia e dell'asse di omologia che determinano i diversi "caratteri metrici" di esse.

Omologia generale
(fig. 1)
L'omologia si ha:
1)
quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, detta asse di omologia, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia. Di questo caso abbiamo parlato in modo completo al post precedente.

Affinità
(fig. 2)
L'affinità si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, come nel caso dell'omologia, detta asse di omologia, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività. entrambi propri, è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, che è il centro di omologia, del quale non è possibile disegnare su foglio la posizione, la quale può essere indicata solo come "direzione".
Oltre a questo caso generale, esistono altri due casi da considerare:
3) se i due centri di prospettività sono entrambi impropri, ma le loro direzioni sono complanari, allora essi determinano una retta impropria, e il piano che la contiene, incontrando il piano di proiezione pigreco, determina una retta su di esso (generalmante propria) che dovrebbe fungere da centro di proiezione ma, trattandosi per l'appunto di una retta, quando si esegue la proiezione di punti e di rette di pigreco, fornisce dei piani (tutti appartenenti a pigreco), per cui ai punti e alle rette della figura iniziale corrisponderebbero infiniti elementi omologhi, ed il problema avrebbe infinite soluzioni, mentre abbiamo definito la prospettività come una corrispondenza biunivoca (senza eccezioni);
4)
se i due centri di prospettività sono entrambi impropri (come al punto 3), ma le loro direzioni non sono complanari, non è possibile stabilire nè un punto in comune tra loro, né un piano proprio, ma solo un piano improprio
e, considerando la definizione che ne abbiamo dato in un post precedente, come la superficie di una sfera di raggio infinito, il problema diventa senza soluzione o, meglio, si trasforma in una traslazione perchè le due proiezioni sul piano pigreco ci sono comunque e, nell'esaminarle, ci si accorge che la fattispecie è passata dall'affinità alla traslazione.

Omotetia
(fig. 3)
L'omotetia si ha:
1)
quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2)
quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia.
Le due prospettività forniranno figure simili, cioè della stessa forma, ma una più grande e una più piccola. Gli angoli corrispondenti saranno della medesima ampiezza, mentre i lati corrispondenti saranno tra loro proporzionali, ed il fattore di proporzionalità è dato dal rapporto tra le due distanze comprese tra il centro di omologia e i due punti considerati. Tale fattore di proporzionalità sarà identico per tutte le lunghezze della figura.

Traslazione
(fig. 4)
La traslazione si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, detto centro di omologia. Le due prospettività forniranno figure della stessa forma e della stessa grandezza, e l'una e l'altra verranno ad essere rappresentate sul piano di proiezione pigreco in due posizioni differenti dipendenti dalla posizione spaziale dei due centri (qualora venissero a trovarsi sovrapposte, si parlerebbe di "uguaglianza", che è il caso particolare della traslazione quando lo spontamento è nullo).

Omologia di ribaltamento
(fig. 5)
Pur rientrando nel caso dell'omologia generale, l'omologia di ribaltamento consente costruzioni di grande interesse applicativo.
Nell'ambito dell'omologia generale, essa si caratterizza per il fatto di poter eseguire le costruzioni prospettiche ed assonometriche direttamente su un unico foglio da disegno, senza dover ricorrere a nessuna figura preparatoria.
Dei due centri di prospettività, uno è proprio, come nell'omologia generale, mentre l'altro è improprio ed ha direzione ortogonale al piano bisettore beta di uno dei due diedri formati dal piano di proiezione pigreco e dal piano sigma sul quale si trova la figura. Questo consente di trovare agevolmente il centro di omologia su pigreco.
Piero Della Francesca (1416-1492) utilizzò questa omologia per dettare il suo metodo prospettico (figure), ancor prima che Poncelet (1788-1867) estrinsecasse a pieno la teoria della Geometria proiettiva.

Per una lettura veramente affascinante, si consiglia, per questo post, la lettura del libro di Piergiorgio Odifreddi Una via di fuga, Mondadori 2011. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E la presentazione del suo libro sul suo sito.

L'omologia

L'omologia piana
L'omologia piana è la relazione che insorge tra due figure su un piano (piano di proiezione) quando esse sono il risultato di due prospettività di un medesimo piano (diverso dal precedente) eseguite da due centri di prospettività differenti.
Poichè le due prospettività sono eseguite con operazioni di proiezione e sezione, l'omologia è una proiettività, cioè una trasformazione del piano che trasforma rette in rette e conserva l'appartenenza (se tre punti si trovavano su una retta, dopo la trasformazione essi si troveranno ugualmente su una retta e, precisamente, sulla retta trasformata di quella iniziale).
In quanto proiettività, inoltre, l'omologia conserva il birapporto di quattro punti o di quattro rette, e questo ne costituisce l'invariante.

L'omologia è determinata quando se ne conoscono il centro, l'asse e una coppia di elementi omologhi (o due punti, oppure due rette) (fig. 1).
Il centro è costituito dal punto di intersezione della retta passante per i due centri di prospettività con il piano di proiezione.
L'asse è costituito dalla retta di intersezione dei due piani, quello di proiezione e quello sul quale si trova la figura.

I due centri di prospettività possono essere disposti in qualsiasi modo rispetto ai due piani, purchè non appartengano entrambi all'asse (vedi la fig. 2 e la fig. 3, relative alle due prospettività eseguite separatamente e la fig. 4 che è l'assemblaggio delle precedenti due; per comprendere meglio le operazioni eseguite si riporta anche la proiezione con il metodo di Monge in fig. 5; mentre in fig. 6 si riporta un dettaglio della precedente che esamina la relazione omologica direttamente sul piano di proiezione pigreco visto di fronte).

L'omologia generale viene a prendere diverse configurazioni metriche (1) a seconda della posizione reciproca dei due elementi caratterizzanti dal punto di vista proiettivo, e cioè: 1) la retta comune ai due piani pigreco di proiezione e sigma sul quale si trova la figura (detta asse di omologia); 2) la retta congiungente i due centri di prospettività (che determina sul piano pigreco il centro di omologia). (nelle figure precedenti sono indicati, rispettivamente, con pigreco, con sigma e con C1C2).
Le diverse caratterizzazioni sono in totale quattro: 1) l'omologia generale (o proiettività; esposta sopra); 2) l'affinità (o omologia affine); 3) l'omotetia (o similitudine); 4) l'uguaglianza (o traslazione).

Le quattro caratterizzazioni godono di diverse proprietà, e si caratterizzano per un numero via via crescente di "invarianti geometriche" come descritto sotto il titolo "Le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano"nel post sulle trasformazioni geometriche, e in questo post sulla generazione proiettiva delle geometrie.

Esistono, poi, altre due forme di omologia generale, e cioè "l'omologia di ribaltamento" (di cui parleremo in un post successivo) e "omologia speciale", nella quale la retta che passa per i due centri di prospettività incontra il piano di proiezione pigreco sull'asse di omologia (anche questa forma rientra nel caso dell'omologia generale, e cioè: centro proprio e asse proprio; e valgono le stesse regole dell'omologia).

L'omologia nello spazio
Per approfondire l'omologia nello spazio, vedi:
Ugo Saccardi, Applicazioni della geometria descrittiva, IV edizione, LEF 1977, pag. 246;
Jean Victor Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, Vol. 1, Paris 1822, pag. 357;
Ferdinando Aschieri, Geometria proiettiva dello spazio, Hoepli 1895, pag. 66.

(1) L'espressione configurazioni metriche è intesa nel senso degli invarianti nelle trasformazioni, cioè la conservazione delle proprietà relative agli angoli, alle lunghezze, al parallelismo, ecc..

Teoremi di Stevin sulla prospettiva

Il 1° teorema di Simon Stevin (1548-1620) viene applicato alla prospettività tra due piani. Dato un piano di proiezione pigreco (detto anche quadro) sul quale viene proiettata la figura contenuta nel piano sigma (piano di terra) da un centro di prospettività C, esso afferma: Se il quadro ruota attorno alla linea di terra e se lo spettatore ruota nello stesso verso attorno al proprio piede conservandosi sempre parallelo al quadro, la prospettiva non verrà turbata e sussisterà anche quando il quadro risulterà ribaltato sul piano orizzontale.

Vedi l'animazione cliccando sulla bacchetta magica.

Il 2° teorema di Stevin viene applicato al ribaltamento sul piano di terra di 3 piani: a) quello su cui sta l'osservatore, b) il piano di proiezione (detto vitreo), c) quello su cui sta la figura da proiettare. 
Ruotati il vitreo attorno alla propria base come asse, la linea dell’osservatore attorno al piede e quella condotta dal punto dato (elevato e da disegnare) al pavimento in modo che siano sempre parallele alla retta nel vitreo perpendicolare alla base di questo: l’immagine del punto da disegnare, emergente al disopra del pavimento, appare nel vitreo sempre al medesimo posto
Vedi l'animazione.

Vedi la figura originale (in alto a destra) tratta da qui: Simon Stevin, Wisconstighe gedachtenissen, Deel 3: Van de deursichtighe, Ed. Ian Bouvvensz., Leiden 1605p. 17, e alla p. 18 nell'edizione del 2010.
La stessa figura si trova anche in: Simon Stevin, Hypomnemata mathematica, Tomus tertius De Optica, Liber Primus De Sciagraphia,  Ed. Ex Officina Joannis Patii, Lugduni Batavorum, 1608, p. 17 (p. 1106 del pdf).
Idem anche in: Simon Stevin, Œuvres mathématiques, Cinquiesme volume, De L'Optique, 1634, p. 526 (p.756 del pdf).
Dal punto di vista storico, il metodo è stato rivalutato da Michel Chasles, in Apercu historique sur le developpement des méthodes en géométrie, 1837, a pag. 346. e lo colloca come precursore di S'Gravesande e di Taylor che vissero un secolo più tardi.
Inoltre, il metodo di Stevin è stato descritto in dettaglio in Poudra, N.G., Histoire de la perspective ancienne et moderne, 1864, bnf, alle pagine 213-222. 

In questo ribaltamento del quadro, dell'occhio e della figura sul piano orizzontale possiamo collocare le lontane origini dell'omologia piana (la prima apparizione di figure omologiche, come dice Poudra a pag. 215) [vedi anche scheda di R. Sinisgalli, 1978, in basso].
In effetti la costruzione (originale a destra, tratto dalle Œuvres a pag. 544 (1), pag. 786 del pdf) rivela implicitamente le due proprietà dell'omologia, e cioè: 1) rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia (nella figura, Linea di terra); 2) punti omologhi sono allineati con il centro di omologia (nella figura, (V) cioè il punto di vista ribaltato sul piano si proiezione).
Nell'ultima figura sono state verificate le due proprietà dell'omologia ed è stato tracciato il cerchio di distanza che rivela come il rettangolo prospettico (in rosso) si trovi in buona parte fuori di un campo visivo con cono ottico di 90°.
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(1) - I disegni sono eseguiti molto male, come afferma Poudra a pag. 215 dopo circa due secoli e mezzo dalla pubblicazione. Se pensiamo che, ad oggi, l'opera originale ha circa 4 secoli, e che può essere stata conservata in condizioni termoigrometriche molto diverse nel corso di questo tempo, possiamo capire che la scansione dell'originale possa non coincidere esattamente con le costruzioni eseguire su di essa.

Il teorema di Desargues

In due triangoli non aventi alcun elemento in comune (vertici o lati), se le tre rette congiungenti le tre coppie di vertici corrispondenti si incontrano in un punto, allora le tre coppie di rette contenenti i lati corrispondenti si incontrano su una retta (e, per il principio di dualità, viceversa).
Il teorema vale anche se le tre rette congiungenti le tre coppie di vertici corrispondenti sono parallele tra loro, ovvero si incontrano in un punto improprio.
Il teorema è stato formulato da Girard Desargues (1591-1661) nel 1639.
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Vedi: Castelnuovo Guido, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, pag. 23-30, con esercizi.

La prospettività

Proprietà proiettive delle figure
La geometria proiettiva studia le proprietà proiettive delle figure (sia nel piano che nello spazio), cioè quelle proprietà che si conservano quando la figura viene sottoposta ad operazioni di proiezione e sezione.
Nell'ambito della proiettività, la prospettività è una corrispondenza biunivoca tra due insiemi di elementi geometrici, consistente nel fatto che da un elemento di un insieme si può determinare uno ed un solo elemento dell'altro insieme, e viceversa, cioè non vi sono elementi di un insieme che non abbia il corrispondente nell'altro insieme, e ciò è dovuto al fatto che nella geometria proiettiva sono considerati, come peculiari di questa geometria, anche gli enti geometrici all'infinito (fig. 1 nel piano e fig. 5 nello spazio).

Nel piano
(*)
1) Prospettività di centro C tra i punti di una retta m e le rette del fascio per C1 (esterno a m). Si tratta di una prospettività tra forme geometriche fondamentali di 1^ specie. Le due forme sono: il fascio di rette e la retta punteggiata (fig. 2).
2) Prospettività di centro C1 tra i punti delle rette n ed m (con C1 esterno ad esse). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono le due rette punteggiate (fig. 3). Il punto L è un punto doppio in quanto appartenente contemporaneamente alla retta m ed alla retta n.
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (esterni ad s). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 4). I punti della retta n, in quanto contenente i centri dei fasci C1 e C2, è una retta doppia, infatti, proiettando il punto N da C1 si ottiene la stessa retta che proiettandolo da C2.
Vedi anche l'animazione (cliccando la bacchetta sulla barra rosa) relativa al teorema di Stevin (1548-1620).

Nello spazio

1) Prospettività tra la stella di rette con centro in C1 e i punti del piano alfa (esterno a C1). E' una prospettività tra forme di 2^ specie, e cioè la stella di rette e il piano punteggiato (fig. 6).
2) Prospettività tra la stella di piani con centro in C1 e le rette del piano alfa (esterno a C1). Si tratta di una prospettività tra forme di 2^ specie cioè tra la stella di piani e il piano rigato (fig. 7).
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (i piani su cui giacciono i due fasci hanno per intersezione l'asse s, che non deve contenere né C1C2). E' una prospettività tra due forme di 1^ specie, le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 8).
La retta congiungente i due centri C1 e C2 può essere vista come l'asse di un fascio di piani, i cui piani (ad esempio: alfa, beta, ecc.) incontrano i piani sigma e pigreco (sui quali giacciono i due fasci di rette) e danno luogo a ciascuna coppia di rette corrispondenti.
4) Prospettività tra un fascio di piani di asse s e una retta r (sghemba riapetto ad s). E' una prospettività tra due forme di specie diversa che sono: il fascio di piani, che è di 2^ specie, e la retta punteggiata, che è di 1^ specie (fig. 9).
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(*) Per una migliore visualizzazione dei lettori dediti alle arti visive, si preferisce esporre le prospettività a seconda che siano piane o spaziali, diversamente dalla maggior parte dei testi di geometria proiettiva che le espongono per appartenenza alla specie.
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