Le proiezioni ortogonali 10: applicazioni

Quadro generale di riferimento delle applicazioni
Le applicazioni verranno illustrate prossimamente. Qui se ne citano solo i titoli:
- Redazione del disegno e norme UNI.
- Rappresentazione dei poliedri generici e dei solidi platonici (vedi: Enriques, Lezioni di g.d., pag. 91 e 94)
- Rappresentazione delle superfici coniche (vedi: Enriques, Lezioni di g.d., pag. 184)
- Sviluppo dei solidi e superfici sviluppabili, e costruzione di modelli in cartoncino (Enriques, Lezioni di g.d., p. 191 e 205)
- Rappresentazione delle superfici quadriche rigate (vedi: Enriques. Lezioni di g.d., pag. 235, 252, 268, 307)
- Eliche ed elicoidi (vedi: Enriques, Lezioni di g.d., pag. 339)
- Superfici di rotazione (vedi: Enriques, Lezioni di g.d., pag. 325)
- Teoria delle ombre (Enriques, Lezioni di g.d.., pag. ...)
- Costruzione dell'orologio solare (vedi: Enriques, Lezioni di g.d., pag. 82)
- Stereotomia (taglio di pietre e legnami per la costruzione di archi e volte)

Le proiezioni ortogonali 9: esercitazioni

Alcuni dei problemi sottoelencati verranno sviluppati progressivamente.

Problemi di appartenenza
01-PO-APP-PF - Retta passante per due punti
02-PO-APP-PF - Retta comune a due piani
03-PO-APP-PF - Punto comune a due rette (complanari)
04-PO-APP-PF - Piano comune a due rette (incidenti)
05-PO-APP-PF - Piano passante per una retta e per un punto
06-PO-APP-PF - Punto di intersezione di una retta con un piano
07-PO-APP-PC - Piano comune a tre punti (non allineati)
08-PO-APP-PC - Punto comune a tre piani (a due a due non paralleli)
09-PO-APP-PC - Retta che passa per un punto e si appoggia a due rette sghembe
10-PO-APP-PC - Retta che si appoggia a tre rette sghembe
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Problemi di parallelismo
11-PO-PAR-PF - Retta passante per un punto e parallela ad una retta data
12-PO-PAR-PF - Piano passante per un punto e parallelo ad un piano dato
13-PO-PAR-PF - Piano passante per una retta e parallelo ad una retta data
14-PO-PAR-PC - Piano passante per un punto e parallelo a due rette sghembe date
15-PO-PAR-PC - Retta che si appoggia a due rette date ed è parallela ad una terza retta data
16-PO-PAR-PC - Retta che passa per un punto, si appoggia ad una retta data ed è parallela ad un piano
17-PO-PAR-PC - Retta che passa per un punto ed è parallela a due piani dati (i due piani non paralleli)
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Problemi di perpendicolarità
18-PO-PER-PF - Retta che passa per un punto ed è perpendicolare ad un piano
19-PO-PER-PF - Piano che passa per un punto ed è perpendicolare ad una retta data
20-PO-PER-PF - Piano che passa per una retta ed è perpendicolare ad un piano dato
21-PO-PER-PF - Retta che passa per un punto ed è perpendicolare ad una retta data
22-PO-PER-PC - Retta perpendicolare a due rette sghembe
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Problemi di misura
23-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra due punti
24-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due piani paralleli
25-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette parallele
26-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e una retta
27-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e un piano
28-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due rette (incidenti)
29-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due piani
30-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra una retta e un piano
31-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette sghembe
32-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra un punto e un piano
33-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra una retta e un piano di proiezione
34-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra un piano generico e un piano di proiezione
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Altri problemi
35-PO-ALT - Costruire un piano passante per una retta e tangente ad una sfera
36-PO-ALT - Costruire un piano passante per un punto e tangente ad un cilindro
37-PO-ALT - Individuare il punto di intersezione tra una retta e una sfera
38-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e parallelo ad una retta e tangente ad una sfera
39-PO-ALT - Individuare un piano parallelo ad una retta e tangente ad un cilindro
40-PO-ALT - Individuare un piano parallelo a due rette sghembe date e tangente a una sfera
41-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e parallela ad un piano e con angolo di x° rispetto ad un piano di proiezione
42-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e parallela ad un piano e con angolo di x° rispetto alla linea di terra
43-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad una retta generica
44-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e incidente una retta data e con angolo di x° rispetto ad un’altra retta
45-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da tre punti dati (centro del cerchio)
46-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da tre piani dati
47-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da quattro punti dati (centro della sfera)
48-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da quattro piani dati (centro della sfera)
49-PO-ALT - Individuare un piano perpendicolare ad una retta ed equidistante da due punti dati
50-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto di un piano e con angolo di x° con uno dei piani di proiezione
51-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data e con angolo di x° rispetto ad un piano dato
52-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad un’altra retta
53-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad uno dei piani di proiezione
54-PO-ALT - Individuare un piano passante per una retta e formante uguale angolo di x° rispetto ad entrambi i piani di proiezione
55-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e formante uguale angoli di x° rispetto a tre rette sghembe date
56-PO-ALT - Individuare una sfera passante per tre punti e tangente ad un piano
57-PO-ALT - Individuare la retta che si appoggia a quattro rette generiche date.
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Nota 1 - La sigla che precede il titolo del problema ha il seguente significato: a) il numero iniziale indica il numero progressivo del problema; b) le due lettere successive indicano il metodo di rappresentazione (qui, PO 0 Proiezioni ortogonali) c) le tre lettere successive indicano l'argomento del problema; d) l'ultimo gruppo di due lettere indica se il problema è un problema fondamentale (PF), cioè risolvibile con la sola conoscenza delle condizioni fondamentali dell'argomento trattato (più, ovviamente, le condizioni fondamentali degli argomenti precedenti), oppure se è un problema complementare (PC), cioè risolvibile facendo ricorso anche alle procedure dei problemi fondamentali.
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Nota 2 - I problemi proposti sopra sono stati tratti da testi di geometria descrittiva, alcuni in uso presso le facoltà di architettura ed ingegneria, altri in uso presso le facoltà di matematica, e sono elencati in due gruppi. Segue un elenco di testi in uso presso le scuole medie superiori, nonchè un elenco di testi "classici" italiani reperibili nelle biblioteche digitali sul web.
TESTI IN USO PRESSO LE FACOLTA' DI ARCHITETTURA E DI INGENGERIA .
- ANONIMO, 1972, Testo di geometria descrittiva e proiettiva (ciclostilato), LEF Editrice Firenze.
- BOMPIANI E. e LONGO C., 1962, Geometria descrittiva, lezioni ed esercizi per gli allievi di architettura, III edizione, Libreria Eredi Virgilio Veschi Roma.
- CHISINI O. e MASOTTI BIGGIOGERO G., 1973, Esercizi di geometria descrittiva, Tamburini Editore Milano.
- CHISINI O. e MASOTTI BIGGIOGERO G., 1992, Lezioni di geometria descrittiva, VII edizione, Masson Editore Milano.
- DOCCI M. e MIGLIARI R., 1992, Scienza della rappresentazione: fondamenti e applicazioni della geometria descrittiva, La Nuova Italia Scientifica Roma.
- MIRRI Franco, 1992, La rappresentazione tecnica e progettuale: manuale di disegno per ingeneri e architetti, La Nuova Italia Scientifica Roma.
- NASINI Lamberto, 1990, Geometria descrittiva per la rappresentazione architettonica, Edizioni Kappa Roma.
- SACCARDI Ugo, 1977, Applicazioni della geometria descrittiva, IV edizione, LEF Editrice Firenze.
TESTI IN USO PRESSO LE FACOLTA' DI MATEMATICA .
- ASCHIERI Ferdinando, 1897, Geometria descrittiva, II edizione, Hoepli Editore Milano.
- BALDASSARRI Mario, 1967, Guida allo studio della Geometria analitica e proiettiva, Sunti ed esercizi, Volume 2, Cap. 5, CEDAM Editore Padova.
- CAMPEDELLI Luigi, 1972, Lezioni di geometria, Vol. 2, Parte I: I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, IV edizione, CEDAM Editore Padova.
- LORIA Gino, 1912, Poliedri Curve sghembe Superficie secondo i metodi della geometria descrittiva, Hoepli Editore Milano.
- MORIN Ugo, 1964, Lezioni di geometria, Parte IV: Geometria descrittiva Curve sghembe e superficie, II edizione, CEDAM Editore Padova.
TESTI IN USO PRESSO LE SCUOLE MEDIE SUPERIORI .
- AVIGNANT J. e DERIQUEHEM B., 1981, Geometrie descriptive, Dunod Editions Paris.
- BONACCI Gi., 1991, Capire la geometria descrittiva, Lucarini Editore Roma.
- BONFIGLI C. e BRAGGIO C.R., 1987, Geometria descrittiva e prospettiva, Hoepli Editore Milano.
- De SIMONI Luigi, 1972-76, Vol. 1: Geometria e realtà IV ediz. 1972, Vol. 2: Terza dimensione III ediz. 1973, Vol. 3: Spazio prospettico II ediz. 1976, Bonacci Editore Roma.
- DOCCI Mario, 1987, Teoria e pratica del disegno, Laterza Editori Roma Bari.
- NANNONI Dante, 1978-81, Il mondo delle proiezioni, 3 voll., Cappelli Editore Bologna.
- VAGNETTI Fausto, 1972, Elementi di scienza del disegno, 2 voll. con tavole separate, Edizioni Mediterranee Roma.

TESTI CLASSICI
- ENRIQUES Federigo, 1920, Lezioni di Geometria descrittiva, Zanichelli Editore, Bologna, (1^ ed. 1893).
- BURALI-FORTI Cesare, 1921, Geometria descrittiva, Vol. 1, Assonometria, Lattes Editori, Torino.
- BURALI-FORTI Cesare, 1922, Geometria descrittiva, Vol. 2, Proiezione quotata, Proiezione Monge, Prospettiva, Lattes Editori, Torino.
- BROGGI Corrado, senza data, Elementi di Geometria descrittiva, Proiezioni di Monge, Manoscritto.

Le proiezioni ortogonali 8: impiego dell'omologia





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Per l'omologia tra 1^ e 2^ immagine delle rette di un piano vedi il teorema in: Enriques Federigo, Lezioni di geometria descrittiva, pag. 57.

Le proiezioni ortogonali 7: cambiamento del piano di proiezione

Nella esecuzione di disegni di oggetti può accadere che talune rappresentazioni non illustrino bene qualche particolarità di quell'oggetto che vorremmo poter vedere meglio, magari da un'angolazione diversa, oppure che una vista diversa potrebbe meglio chiarire alcune ambiguità della rappresentazione come, ad esempio, la nuova proiezione (in alto a destra) dell'esempio riportato nella figura nella quale le sole due immagini iniziali non rendono ragione della forma della casa rappresentata e la terza proiezione, pur consentendo di comprendere la forma del tetto, non fa comprendere il volume.
Per eseguire una nuova proiezione partendo dalle prime due proiezioni, quella su pigreco1 e quella su pigreco2, occorre fissare sul piano orizzontale la posizione della nuova linea di terra (retta comune al piano orizzontale pigreco1 e al nuovo piano verticale pigreco3) che indicheremo con l1-3. Quindi, si esegue questa nuova proiezione nel modo consueto riportando su di essa le altezze dei vari punti che possono essere individuate o graficamente, come nella figura, o riportandole mediante la misura diretta facendo uso di una riga graduata.
Nella figura è stata costruita una ulteriore proiezione, con nuova linea di terra l1-4, che fa comprendere meglio la "volumetria" del solido, che le precedenti proiezioni non consentivano. Questo procedimento viene frequentemente applicato nei disegni di architettura in quanto la nuova proiezione, da sola, è già in grado di rappresentare l'oggetto in modo sufficientemente significativo.

Le proiezioni ortogonali 6: ribaltamento di un piano su un quadro

Il ribaltamento di un piano generico su uno dei due piani di proiezione, detto anche "quadro", ha lo scopo di ricavare la vera forma e la vera grandezza delle figure che si trovano su di esso, consentendo così di "misurare" le distanze tra punti e l'ampiezza dell'angolo tra rette di una figura piana (ovviamente, nella scala del disegno). Tale operazione consente di conoscere ogni dimensione della figura e raggiunge l'obiettivo che si prefiggeva Gaspard Monge (1746-1818) quando nella sua famosa Introduzione alla Geometria Descrittiva (1798) scriveva: "Il secondo scopo della geometria descrittiva é di dedurre dalla descrizione esatta dei corpi tutto ciò che discende necessariamente dalle loro forme o dalle loro rispettive posizioni".
Ora vedremo i passaggi che occorre percorrere per giungere a tale risultato iniziando con il ribaltamento di un piano proiettante (§. A), e proseguendo con un piano generico (§. B). Nel corso della trattazione faremo esempi di misurazione di distanze e di angoli. Quanto sopra sarà corredato (§. C) di un elenco di esercizi sulla misura di lunghezze e di angoli. A margine della trattazione del ribaltamento vedremo (§. D) come sia possibile dedurre indirettamente la condizione di ortogonalità tra retta e piano in questo metodo di rappresentazione facendo uso soltanto dei concetti relativi al ribaltamento.

A) Riba
ltamento di un piano proiettante
Nella tav. 1 è rappresentato un piano proiettante beta contenente una retta q.
2) Nella tav. 2 il piano beta è stato fatto ruotare intorno alla sua traccia prima, t'beta, fino ad adagiarlo sul piano orizzontale pigreco1.
Tenendo presente che le tracce di un piano proiettante sono tra loro
ortogonali, è stata costruita la traccia seconda di beta, (t"beta), ortogonalmente alla traccia prima di beta, t'beta, e passante per il vertice del piano Vbeta, poi è stata riportata la T"q con il compasso facendo centro nel vertice del piano, Vbeta.
Congiungendo la traccia seconda della retta q ribaltata, (T"q), con la traccia prima di q, T'q, è stata costruita la retta q ribaltata, (qbeta), considerata, per l'appunto, appartenente al piano beta.
Su tale ribaltamento è ora possibile eseguire la misura sia dell'angolo di q con la traccia prima del piano beta, alfa1, (analogamente per l'angolo con la traccia seconda, alfa2) sia la lunghezza della porzione di q che si trova tra le sue due tracce, che è risultata di mm 42.
E' da notare che alfa1 misura anche l'inclinazione della retta q con il piano orizzontale in quanto l'angolo si trova su un piano ad esso ortogonale, mentre alfa2 non misura l'algolo della retta q con il piano verticale in quanto beta non è ortogonale al piano verticale: per poter effettuare anche la misura dell'inclinazione della retta q con il piano verticale occorre costruire per essa un piano proiettante in seconda proiezione.
Nella tav. 3 è stato costruito un triangolo equilatero con base sulla retta q mediante l'altezza, individuando il vertice ribaltato (V).
Proiettando tale vertice sulla traccia prima del piano beta, che lo contiene, né e stata individuata la proiezione prima V'. Quindi, con costruzione inversa al ribaltamento, è stata individuata anche la proiezione seconda V", ottenendo su beta la seconda proiezione del triangolo equilatero (preleva la tav. 3 stampabile).

B) Ribaltamento di un piano generico
1) Nella tav. 1 è rappresentato un piano e, su di esso, due rette: una orizzontale, la r, e l'altra di massima pendenza, la s, che, quindi, è ortogonale per costruzione alla r.

2) Nella tav. 2, che è la prosecuzione della tav. 1, è stato costruito un piano beta proiettante in prima proiezione e passante per la retta di massima pendenza s (che funge da retta comune ai due piani alfa e beta). Poiché le tracce di un piano sono le sole sue parti già in vera grandezza nel disegno, osserviamo che la distanza tra il vertice del piano alfa, Valfa, e la T"s della retta s è già una "vera" grandezza: nell'eseguire il ribaltamento del piano alfa sul piano di proiezione orizzontale intorno alla sua t'alfa, tale distanza dovrà conservarsi immutata; inoltre, la retta s è di massima pendenza per il piano alfa, cioè è ortogonale alla t'alfa e, pertanto, dopo il ribaltamento dovrà mantenersi tale. Per tracciare il ribaltamento della retta s sul quadro pigreco1 è sufficiente che da T's si tracci una retta ortogonale a t"alfa, che prenderà il nome di retta s ribaltata (ovviamente, sul piano orizzontale) e sinteticamente verrà indicata son (s). Per riportare la lunghezza del segmento di s compreso tra le sue due tracce su (s) è sufficiente eseguire la rotazione, con centro nel vertice del piano, come in tav. 2.

3) Nella tav. 3 abbiamo eseguito il ribaltamento del piano alfa sul piano di proiezione orizzontale, tracciando la (t"alfa) passante per il vertive del piano alfa, Valfa, e la (T"s) già individuata alla tav. 2.
La retta orizzontale ribaltata (r) verrà costruita su tale ribaltamento del piano alfa con la considerazione che dovrà essere parallela alla t'alfa (che per definizione è orizzontale poiché si trova sul piano orizzontale di proiezione e che durante il ribaltamento non ha subito spostamenti dal momento che funge da asse-cerniera del ribaltamento stesso). Un punto qualsiasi P che si trovi sulla retta orizzontale r verrà ruotato nel suo ribaltamento (P) portandolo ortogonalmente alla t'alfa da P' su (r).

4) Nella tav. 4 analogamente a quanto avvenuto per il punto P (in tav. 3), possiamo ribaltare qualsiasi punto che si trovi sul piano alfa costruendo per esso una retta orizzontale su alfa ed eseguendo le medesime costruzioni fatte per il punto P. In tal modo è possibile misurare la distanza tra qualsiasi coppia di punti del piano alfa. Qui viene presentato il ribaltamento di un triangolo (parte in colore rosso).
Per quanto riguarda la misura dell'ampiezza dell'angolo formato da due rette a e b comunque inclinate che si trovino sul piano alfa occorre ribaltare la traccia seconda di ciascuna di esse (che ovviamente per l'appartenenza si trova sulla t"alfa) e portarla, con la solita rotazione intorno a Valfa, sulla (t"alfa), poi congiungere con la traccia prima (che, altrettanto ovviamente, sta sulla t'alfa, e quindi non si è spostata durante la rotazione). Possiamo così misurare la "vera" ampiezza dell'angolo ab mediante il ribaltamento (a) e (b) delle due rette che lo definiscono.
Nella tav. 4 il triangolo APQ risuta essere retto sul vertice A (ed avremmo dovuto capirlo dalla posizione delle rette che vi convergono in quanto le abbiamo costruite ad angolo retto essendo la retta r orizzontale e la s una retta di massima pendenza). Inoltre i suoi lati, nella scala del disegno, hanno le seguenti misure: cateto AQ = mm 13,5; cateto AP = mm 20,5; ipotenusa PQ = mm 24,5. L'ampiezza degli angoli con vertice in P e Q sarà misurata con il goniometro direttamente sul ribaltamento in (P) e (Q) (preleva la tav. 4 stampabile).

5) Il problema inverso di quello di "misurare" distanze tra punti ed angoli tra rette è il problema di "costruire" figure di forma e dimensioni assegnate su un piano alfa. Per cui, data una figura piana di cui siano note le lunghezze dei lati e l'ampiezza degli angoli tra due lati, occorre disegnare tale figura sul ribaltamento del piano alfa, ed eseguire le costruzioni finora esposte nell'ordine inverso, ottenendo così la prima e la seconda proiezione di tale figura.

6) L'omologia che si riscontra tra il ribaltamento della figura e la prima proiezione della stessa figura, come sarà maggiormente spiegato nel post 8, risulta evidente constatando che il prolungamento della prima proiezione P'Q' ed il prolungamento dell'ipotenusa ribaltata (PQ) si incontrano nel medesimo punto della t'alfa che, pertanto, è l'asse dell'omologia, mentre il centro di omologia è improprio in direzione ortogonale all'asse (si tratta di una affinità nella quale le due prospettività che la generano hanno centri di prospettività entrambi impropri, a differenza del caso già presentato nel post sulle trasformazioni che aveva i due centri di prospettività entrambi propri).
Con questa constatazione possiamo disegnare il ribaltamento della figura, una volta ottenuto il ribaltamento di un punto del piano alfa, utilizzando le due proprietà già note, come spiegato nel relativo post sull'omologia (punti omologhi sono allineati con il centro, rette omologhe si incontrano sull'asse).

N.B. - La faccia del piano alfa ribaltato in vista nei disegni è quella inferiore. Pertanto nel costruire una figura occorre avere l'accortezza di disegnare sul ribaltamento di alfa la figura vista dalla parte della faccia opposta rispetto a come dovrà trovarsi nelle proiezioni.

C) Esercizi sui problemi di misura
Riporto la parte di esercizi sui problemi di misura tratto dall'elenco del post 9 sulle proiezioni ortogonali.
23-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra due punti
24-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due piani paralleli
25-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette parallele
26-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e una retta
27-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e un piano
28-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due rette (incidenti)
29-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due piani
30-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra una retta e un piano
31-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette sghembe
32-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra un punto e un piano
33-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra una retta e un piano di proiezione
34-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra un piano generico e un piano di proiezione

D) L'ortogonalità tra retta e piano desumibile dal ribaltamento
L'argomento è stato già trattato nel post precedente enunciando le condizioni di ortogonalità tra retta e piano. Ora vogliamo dedurre tali condizioni indirettamente mediante l'esame del disegno congiunto del ribaltamento di un piano generico e di uno proiettante ad esso ortogonale.
1) Nella tav. D1 vediamo il piano generico alfa, ortogonalmente al quale è stato portato il piano proiettante beta: la retta q è la retta comune ad essi. Il piano proiettante beta è stato ribaltato sul piano orizzontale pigreo1, facendolo ruotare intorno alla sua traccia prima. Con esso abbiamo trasportato anche la T"q, per cui abbiamo potuto costruire il ribaltamento della retta q su pigreco1 considerato appartenente a beta. Quindi abbiamo preso un punto (Q) (con colore rosso) sulla retta (q) e, con procedimento inverso al ribaltamento, abbiamo trovato la posizione di Q' e di Q".
2) Nella tav. D2 abbiamo costruito l'ortogonale alla (q) (con colore rosso) , e su di essa abbiamo preso un punto qualsiasi (V) al fine di poterne costruire la posizione nella prima e nella seconda proiezione.
3) Nella tav. D3 è stata individuata la posizione della prima e della seconda proiezione, V' e V", del punto V: tale operazione ha consentito di disegnare la retta r che, pertanto, risulta ortogonale al piano alfa nel punto Q. Se ora esaminiamo su pigreco1 l'inclinazione della prima proiezione della retta r rispetto alla traccia prima del piano alfa, riscontriamo che sono tra loro ortogonali, e la stessa cosa accade sul piano pigreco2 (preleva la tav. D3 stampabile).
Ciò consente di ribadire la condizione di ortogonalità tra retta e piano come la conosciamo già e di convincerci dell'apparente stranezza del confronto tra una proiezione (della retta) e una traccia (del piano) che, pur essendo di genere diverso, nel caso dell'ortogonalità, vanno messe a confronto.
Questa procedura, insieme a quelle esaminate nel §. A e nel §. B, consente di costruire segmenti di altezza data ortogonalmente ad un piano generico e, pertanto, viene impiegata per la costruzione di solidi di dimensioni assegnate sul piano alfa.

Le proiezioni ortogonali 5: condizioni di perpendicolarità

NOTA PRELIMINARE
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali è una affinità (vedi in questo post), pur conservando il parallelismo, non conserva l'ampiezza degli angoli né la lunghezza dei segmenti e, dunque, in generale le sue proiezioni su uno dei piani di proiezione non conserva l'ortogonalità tra rette nè le tracce omonime di piani ortogonali sono tra loro ortogonali.
Dalla geometria elementare dello spazio (vedi punti c e d) ricordiamo due circostanze che possono farci risolvere il problema:
1) due rette sono perpendicolari tra loro quando una di esse si trova su un piano ortogonale all'altra:
2) due piani sono perpendicolari tra loro quando uno di essi contiene una retta ortogonale all'altro.
Pertanto, la condizione di perpendicolarità viene espressa in modo diretto solo tra retta e piano e viceversa, ma non può essere espressa in modo diretto tra enti geometrici dello stesso tipo, come retta con retta (nel qual caso occorre un piano ausiliario) o piano con piano (nel qual caso occorre una retta ausiliaria).

CONDIZIONI DI ORTOGONALITA'
Una retta e un piano sono tra loro perpendicolari se lo sono le proiezioni della retta con le tracce omonime del piano, e viceversa.
1 - Una retta r è perpendicolare ad un piano alfa se le sue proiezioni r' ed r" sono perpendicolari alle tracce omonime del piano t'alfa e t"alfa.
2 - E viceversa, un piano alfa è perpendicolare ad una retta r se le tracce del piano t'alfa e t"alfa sono perpendicolari rispettivamente alle proiezioni omonime della retta r' ed r").
3 - Una retta s è ortogonale ad una retta r (data) se per quest'ultima passa un piano ad essa ortogonale.
4 - E viceversa, vedi figura a fianco, un piano beta è ortogonale ad un piano alfa (dato) se le sue tracce t'beta e t"beta passano per le tracce T'r e T"r di una retta ortogonale ad alfa (individuata come al caso1).

Le proiezioni ortogonali 4: condizioni di parallelismo

Due enti geometrici sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
1 - Due rette sono parallele se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
2 - Due piani sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
3 - Un piano è parallelo ad una retta se contiene una retta (ausiliaria) parallela a quella data.

CONSIDERAZIONI
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali utilizza proiezioni parallele, esso conserva il parallelismo, per cui:
1 - Per costruire una retta s parallela ad una retta r (data) occorre costruire s' parallelamente ad r' ed s" parallelamente ad r".
2 - Per costruire un piano beta parallelo ad un piano alfa (dato) occorre costruire t'beta parallelamente a t'alfa, e t"beta parallelamente a t"alfa, ricordando che le tracce del piano devono incontrarsi nello stesso punto della linea di terra l.
3 - Nel terzo caso, e cioè la costruzione di un piano parallelo ad una retta, ci troviamo di fronte a due modi che non possono essere percorsi: a) pur essendo dello stesso genere le tracce del piano da costruire (che sono rette) e le tracce della retta data (che sono punti), non ha senso una relazione di parallelismo tra retta e punto; b) le tracce del piano (che sono rette) non possono essere messe in relazione di parallelismo con le proiezioni della retta data (che sono rette anch'esse) perché sono di generi diversi.

La difficoltà, tuttavia, viene superata (vedi figura) tracciando prima una retta ausiliaria s qualsiasi, cioè costruendo le proiezioni di s parallelamente alle proiezioni di r (che sono dello stesso genere, cioè, per l'appunto, sono delle proiezioni) con s' parallela ad r', ed s" parallela ad r" e quindi ricavando da queste le tracce T's e T"s della retta s e, solo dopo, costruendo le tracce t'alfa e t"alfa del piano alfa passanti per le tracce T's e T"s della retta s, ricordando che si devono incontrare nello stesso punto sulla linea di terra l (punto che viene chiamato "vertice del piano"). Il piano alfa risulta essere uno dei tanti (infiniti) piani del fascio di piani che ha per sostegno la retta s.
Dallo specchietto si nota che non si possono impiegare solo gli elementi rappresentativi degli enti dati o da ricercare, ma che occorre fare ricorso ad enti ausiliari: in questo caso, la retta s.

Le proiezioni ortogonali 3: condizioni di appartenenza

Due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi.
I problemi da risolvere sono tre, come tre sono le copie di elementi geometrici fondamentali, punto retta e piano, e cioè: un punto che appartenga ad una retta; una retta che appartenga ad un piano; un punto che appartenga ad un piano.
1 - Una retta passa per un punto (dato) se le proiezioni della retta passano per le proiezioni omonime del punto.
2 - Un piano passa per una retta (data) se le tracce del piano passano per le tracce omonime della retta.
3 - Un piano passa per un punto (dato) se le tracce del piano passano per le tracce omonime di una retta (ausiliaria) che ha le proiezioni passanti per le proiezioni omonime del punto.

CONSIDERAZIONI
1 - E' evidente dalla figura l'appartenenza del punto P alla retta r, poichè le proiezioni P' e P" stanno sulle proiezioni omonime r' ed r" della retta r.
2 - Altrettanto evidente è il caso dell'appartenenza tra retta r e piano alfa, in quanto le tracce T'r e T"r della retta r stanno sulle tracce t'alfa e t"alfa del piano alfa.
3 - Meno evidente appare il terzo caso, cioè quello dell'appartenenza del punto P al piano alfa, in quanto non si possono correlare gli elementi rappresentativi del punto, che sono proiezioni, con gli elementi rappresentativi del piano, che sono tracce, cioè gli elementi rappresentativi del punto e del piano sono di generi diversi e, pertanto, sono correlabili tra loro solo tramite una retta (che in questo terzo caso assume la funzione di retta ausiliaria).
Quindi, per posizionare un punto P su un piano alfa si deve ricorrere in primo luogo ad una retta ausiliaria r che stia sul piano alfa (come nel caso 2) e, solo dopo, individuare il punto P sulla retta ausiliaria r (come nel caso 1).
Anche in questo caso torna utile lo specchietto che si riporta a fianco, dove con la linea continua che collega i vari elementi rappresentativi si indica il percorso da seguire (in un verso o nell'altro) per il passaggio dal piano al punto e viceversa.

Le proiezioni ortogonali 2: rappresentazione degli enti geometrici

INTRODUZIONE
Gli elementi mediante i quali si rappresentano gli enti geometrici sono di due tipi:
a) la proiezione sul piano di proiezione;
b) la traccia sul piano di proiezione, cioè l'elemento di incontro tra l'ente che stiamo considerando e uno dei piani di proiezione: se stiamo trattando di una retta, allora avremo che una sua traccia sarà costituita da un punto, mentre se stiamo considerando un piano, allora la sua traccia sarà una retta.
Se, ad esempio, impieghiamo due piani di proiezione, allora avremo due proiezioni (una su ciascun piano), oppure due tracce, oppure due proiezioni e due tracce, a seconda dell'ente geometrico che stiamo considerando.
Occorre fare una netta distinzione tra proiezione e traccia in quanto, pur trovandosi entrambi, ovviamente, su un piano di proiezione, sono di genere diverso: la proiezione non è un punto "vero" ma, per l'appunto, una proiezione, cioè una "immagine" della figura, mentre la traccia è un punto vero.

RAPPRESENTAZIONE
I punti vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: A, B, C, P, Q, ecc.. Le rette vengono indicate mediante le lettere minuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: a, b, c, r, s, ecc.. I piani vengono indicati mediante le lettere minuscole dell'alfabeto greco, ad esempio: alfa, beta, gamma, ecc. (nel testo si indicheranno per esteso in quanto il blog non dispone dell'alfabeto greco, mentre nelle figure si indicheranno con la lettera greca vera e propria).
Se impieghiamo due piani di proiezione (vedi figura):
1) un punto P è rappresentato mediante le sue due proiezioni P' e P" le quali si trovano su una stessa "retta di richiamo" ortogonalmente alla linea di terra l;
2) una retta r è rappresentata mediante le sue due proiezioni r' ed r" (che sono rette), oppure mediante le sue due tracce T'r e T"r (che sono punti). Conoscendo le proiezioni di una retta, si possono ricavare le tracce della medesima retta: dove una proiezione incontra la linea di terra si traccia una retta perpendicolare ad essa (retta di richiamo) e, all'incontro di questa con l'altra proiezione della retta, si trova la traccia della retta con lo stesso apice (esempio: T'r su r', e T"r su r").
3) un piano alfa è rappresentato mediante le sue due tracce alfa' ed alfa" (che sono rette) e che si incontrano nello stesso punto sulla linea di terra (detto "vertice del piano").


CONSIDERAZIONI
Nelle applicazioni occorre confrontare, cioè mettere in correlazione, solo proiezioni di punti con proiezioni di rette (che sono entrambi del genere "proiezioni"), oppure solo tracce di rette con tracce di piani (che sono entrambi del genere "tracce"), oppure proiezioni di rette con tracce di rette (che sono relative allo stesso ente geometrico retta), ma non è possibile mettere in correlazione le proiezioni di un punto con le tracce di un piano (che non sono né dello stesso genere, né relativi allo stesso ente geometrico).
Nello schema sono indicati gli enti geometrici (riga in alto) e, con un pallino nero, il tipo di elementi rappresentativi di ciascuno, coiè se sono proiezioni oppure tracce.
Occorre anche ricordare che, quando due rette sono parallele (esempio, le proiezioni di una retta, oppure le tracce di un piano), il loro punto di incontro esiste comunque e si trova all'infinito (e per questo motivo non potremo disegnarlo sul foglio da disegno, ma potremo solo indicarlo con una nota apposta sopra un segmentino a doppia freccia che ne rappresenta la direzione).
In questi casi, generalmente, non è più possibile rappresentare in modo "univoco" quell'ente geometrico, ed è necessario ricorrere al un terzo piano di proiezione, disposto ortogonalmente ai precedenti due, dove ricercheremo gli elementi rappresentativi di quell'ente.

Le proiezioni ortogonali 1: elementi di riferimento e modo di proiettare

Le proiezioni ortogonali sono un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva che impiega due proiezioni, e per tale motivo sono dette bicentrali, o "doppie proiezioni ortogonali". Lo studioso che ne ha portato la teoria e l'applicazione a quanto ad oggi conosciuto è Gaspard Monge (1746-1818), e per tale motivo si suole chiamarle anche "proiezioni mongiane".

Gli elementi di riferimento sono costituiti da:
a) due piani di proiezione, pigreco1 e pigreco2, disposti nello spazio ortogonalmente tra loro;
b) due centri di proiezione impropri, C1 e C2, (uno per ciascun piano di proiezione) con direzione ortogonale al rispettivo piano su cui proiettano (dunque le due proiezioni sono proiezioni parallele e, pertanto, conservano il parallelismo).

Lo spazio risulta, pertanto, diviso in 4 diedri retti, due sopra al piano pigreco1 e due sotto oppure due davanti al piano pigreco2 e due dietro e, per convenzione, sono così numerati:
- il I° diedro è quello dove di trova l'osservatore (dizione impropria in quanto, come detto sopra, i due centri sono all'infinito);
- il II° diedro è quello sopra al piano pigreco1 e oltre il piano pigreco2;
- il III° diedro è quello posto sotto al piano pigreco1 e oltre il piano pigreco2;
- il IV° diedro è quello posto sotto al I° diedro.

I due piani di proiezione, pigreco1 e pigreco2, si incontrano secondo una retta, generalmente indicata con l, detta linea di terra, o retta di riferimento nel disegno. Tale retta divide ciascun piano di proiezione in due semipiani, per cui i quattro semipiani verranno indicati come anteriore e posteriore per il piano pigreco1, superiore ed inferiore per il piano pigreco2.

Di solito l'oggetto da rappresentare viene collocato nel I° diedro per facilità di visualizzazione e per semplificare le costruzioni da eseguire. Tuttavia, come vedremo in seguito, alcune costruzioni potranno interessare anche gli altri diedri.

Finora abbiamo illustrato il metodo nello spazio, ma poiché dobbiamo eseguire i nostri disegni su un foglio piano dobbiamo esaminare come ciò sia possibile: in pratica, dopo aver eseguito le due proiezioni sui due piani pigreco1 e pigreco2 disposti nello spazio, ci si riporta ad un unico piano che, lo ripeto, è il piano del disegno, mediante un ribaltamento del piano pigreco2 (vedi in questo post) intorno alla linea di terra l fino ad adagiarlo su pigreco1, il che equivale ad una proiezione da un centro C3 improprio disposto ortogonalmente al piano bisettore del II° e IV° diedro.
Dopo questa operazione di ribaltamento avremo che il semipiano superiore di pigreco2 è sovrapposto al semipiano posteriore di pigreco1, e il semipiano inferiore di pigreco2 è sovrapposto al semipiano anteriore di pigreco1 e, pertanto, essendo ora i due piani coincidenti con il foglio da disegno, possiamo eseguire tutte le costruzioni su di esso.
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Vedi anche Enriques Federigo, Lezioni di geometria descrittiva, Zanichelli, 1920, pag. 49, relativa al passaggio proiettivo dalla proiezione centrale a quella parallela, in merito ai metodi delle proiezioni ortogonali e dell'assonometria ortogonale e obliqua.
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Vedi come avviene il modo di proiettare un oggetto su tre piani di proiezione, anziché su due come fatto sopra, in questa pagina del sito web sulla geometria descrittiva del Politecnico di Varsavia (Polonia); esplora anche le altre pagine del sito.