Le operazioni geometriche fondamentali

Le operazioni geometriche fondamentali della geometria proiettiva sono due: la proiezione e la sezione.

La proiezione
a) Proietare un punto da un altro punto significa costruire la retta che li contiene entrambi.
b) Proiettare una retta da un punto (centro di proiezione) significa costruire un fascio di rette, le quali giaceranno su un piano costituito dal centro di proiezione (centro del fascio) e dalla retta data.
c) Proiettare un piano da un punto (centro di proiezione) significa costruire la stella delle rette che congiungono il punto con tutti i punti del piano.

La proiezione può avvenire sia da un punto proprio, e si chiama proiezione conica o centrale, sia da uno improprio, e si chiama proiezione cilindrica o parallela; in quest'ultimo caso avremo la costruzione di rette parallele alla direzione stabilita dal punto improprio. In pratica, si osserva che avremo una proiezione parallela quando la distanza tra l'occhio dell'osservatore e l'oggetto è molto grande rispetto alle dimensioni dell'oggetto stesso, per cui non siamo in grado di apprezzare se le rette proiettanti siano parallele o meno.
Ad esempio, l'assonometria è una proiezione da un punto all'infinito per cui le rette proiettanti sono parallele ad una direzione prefissata; l'assonometria conserva il parallelismo, nel senso che i segmenti paralleli della figura iniziale F risultaranno paralleli anche nella figura proiettata F'. Un altro esempio di proiezione parallela è costituito dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente luminosa che si trova all'infinito, come il sole, e che investe un oggetto.
Al contrario, la prospettiva è una proiezione da un punto proprio (l'occhio dell'osservatore, centro di proiezione) per cui le rette e i piani proiettanti i punti e i segmenti della figura F passano tutte per un punto; la prospettiva non conserva il parallelismo. Un altro esempio di proiezione conica è dato dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente a distanza propria, come un lampione stradale o una lampada all'interno di una stanza, e che investe un oggetto.

La sezione
a) Nel piano, sezionare una retta con un'altra retta significa individuare il loro punto comune.
b) Nello spazio, sezionare una retta con un piano significa individuare il loro punto comune, mentre sezionare un piano con un altro piano significa individuare la loro retta comune.

La proiezione e la sezione, congiuntamente
a) Proiettate un punto A dal punto P su un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire la retta r che passa per A e P e poi sezionare la retta r con il piano alfa individuando, così, il loro punto comune P'.
b) Proiettare una retta r dal punto P sopra un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire il piano beta che passa per P ed r, poi sezionare tale piano con il piano alfa individuando, così, la loro retta comune r'.
c) Proiettate un punto A da una retta r su una retta s, sghemba rispetto ad r, significa prima costruire il piano alfa, passante per A ed r, e poi sezionare questo con la r individuando, così, il loro punto comune A'.

Osservazioni1) Se la figura F da proiettare è costituita da più punti e più rette, occorre compiere una o più operazioni di proiezione e sezione per ottenerne la proiezione F' (detta anche immagine) su un piano.
2) Le due operazioni di proiezione e sezione si corrispondono in modo duale, sia nel piano che nello spazio.
3) Le operazioni di proiezione e sezione conservano il birapporto, cioè la figura F (ad esempio, una retta con 4 punti A, B, C e D) prima della proiezione o della sezione e la figura F' dopo tali operazioni hanno il medesimo birapporto.

Per una trattazione più immaginativa e intuitiva vedi questo post che è una riflessione di base su quanto detto sopra.
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Le forme geometriche fondamentali

Una forma geometrica fondamentale è costituita da un sostegno e da un elemento generatore.
Le forme geometriche fondamentali sono dodici e si dividono in quattro specie, la cui distinzione è basata sul numero di coordinate proiettive necessarie a descriverle.
Attribuendo, qui, alla parola "spazio" il senso di dimensione spaziale, le forme di prima specie sono spazi ad una dimensione (cioè occorre una sola coordinata per descriverli), quelle di seconda specie sono spazi a due dimensioni, ecc..
Le forme geometriche fondamentali sono state sistematizzate nel 1832 dal matematico svizzero J. Steiner (1796-1863).

Classificazione in base alla specie
A - Forme geometriche fondamentali di prima specie
A1 - La retta punteggiata, cioè l'insieme di tutti i punti di una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il punto.
A2 - Il fascio di rette, cioè l'insieme delle rette che su un piano passano per un punto: il sostegmo è costituito dall'insieme del piano e del punto, l'emento generatore è la retta.
A3 - Il fascio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il piano.
B - Forme geometriche fondamentali di seconda specie
B1 - Il piano punteggiato, cioè l'insieme di tutti i punti di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è il punto:
B2 - Il piano rigato, cioè l'insieme di tutte le rette di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è la retta:
B3 - La stella di rette, cioè l'insieme di tutte le rette che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è la retta.
B4 - La stella di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è il piano.
C - Forme geometriche fondamentali di terza specie
C1 - Lo spazio di punti, cioè l'insieme di tutti i punti dello spazio: lo spazio è il sostegno, l'elemento generatore è il punto.
C2 - Lo spazio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è il piano.
D - Forme geometriche fondamentali di quarta specie
D1 - Lo spazio di rette, cioè l'insieme di tutte le rette dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è la retta (1).
D2 - La retta impropria, cioè l'insieme di tutti i punti impropri delle rette di un piano: il sostegno è la retta impropria e l'elemento generatore è il punto improprio (2).
D3 - Il piano improprio, cioè l'insieme dei punti impropri di tutte le rette dello spazio e delle rette improprie di tutti i piani dello spazio (2).

Classificazione in base all'elemento generatore (3)
Punto
A1 - Retta punteggiata.
B1 - Piano punteggiato.
C1 - Spazio punteggiato.
Retta
A2 - Fascio di rette.
B2 - Piano di rette.
B3 - Stella di rette.
D1 - Spazio di rette.
Piano
A3 - Fascio di piani.
B4 - Stella di piani.
C2 - Spazio di piani.

Classificazione in base al sostegno
Punto
A2 - Fascio di rette (su un piano).
B3 - Stella di rette.
B4 - Stella di piani.
Retta
A1 -Retta punteggiata.
A3 - Fascio di piani.
Piano
B1 - Piano di punti.
A2 - Fascio di rette (sul piano).
B2 - Piano rigato.
Spazio
C1 - Spazio di punti.
C2 - Spazio di piani.
D1 - Spazio di rette.

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Le forme geometriche fondamentali di seconda specie contengono infinite forme fondamentali di prima specie, e altrettanto avviene di quelle di terza specie rispetto a quelle di seconda specie.
Per quanto riguarda lo spazio di rette, che è trattato sempre molto brevemente e solo in alcuni testi, occorre osservare, da un punto di vista esclusivamente formale, che, in base alla figura, presenta forti analogie con il fascio di rette, per cui appare lecito considerarlo duale di se stesso.
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(1). Confronta: 
-Aschieri, Geometria projettiva del piano e della stella, pag. 12;
-Bertini Eugenio, Complementi di geometria projettiva, Zanichelli 1910 e 1927, pag.(?); 
-Manara Carlo Felice, Corso di geometria proiettiva, Ancona 17-20 maggio 1995, appunti manoscritti del 19 maggio.
-Campedelli Luigi, Lezioni di geometria, Vol 2° Parte I I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, Cedam, Padova, 1972, pag. 88;
-Battaglini Giuseppe, Teoria elementare delle forme geometriche, Parte I, pag. 1, in Giornale di matematiche, Vol. 1, 1863, pag. 1-6, 97-109, 161-169, 227-239, .
-D'Ovidio Enrico, Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali, 1885, pag. 169.
(2) Cfr.: C. G. C. V. Staudt (immagini), Geometria di posizione, § 61 a pag. 23 (traduzione di M. Pieri, con introduzione di C. Segre, Torino 1889; originale: Die geometrie der lage, Nurnberg 1847).
(3). Cfr.: Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, pag. 3, nota 1, nella quale riporta: "Lo spazio rigato, o insieme di tutte le rette dello spazio, non viene considerato d'ordinario come forma fondamentale".
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I gruppi di simmetria e il loro impiego

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Gruppi di simmetria

La simmetria fu indagata da H. Weyl (1885-1955) e da H. Coxeter (1907-2003).
La simmetria si distingue in simmetria centrale e in simmetria assiale.
La prima è determinata da rotazione intorno a un centro fisso, mentre la seconda intorno a due centri fissi, ovvero alla retta che li contiene.
Mentre la prima è un'operazione eseguita nel piano, la seconda avviene uscendo dal piano e cambia l'ordinamento dei punti.

Nella simmetria centrale si distingue la simmetria di rotazione, che avviene intorno ad un punto proprio del piano, e la simmetria di traslazione che avviene intorno ad un punto improprio (in questo caso il movimento avviene ortogonalmente alla retta che congiunge il centro di rotazione improprio e il punto del piano che stiamo considerando).
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Appunti di lavoro
Definizione generale di Simmetria, Asimmetria, Antisimmetria.
Broggi
March p.56
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Nel frattempo, potete incuriosirvi sulla vita di questo "gatto" con ambizioni matematiche visitando Popinga, Philippe Geluck, MaddMaths!, e Images des Maths.
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Potreste anche cominciare a sperimentare la simmetria con gli specchi, come fa Il piccolo Freiedrich (blog di Cristina Sperlari, una coraggiosa maestra che opera con i bambini delle scuole elementari), e scoprirete le "innate" sensibilità che ognuno possiede fin dalla più tenera età, anche se dimenticate poi in età adulta.
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Mentre qui potrete ricercare gli innumerevoli e variegati impieghi della simmetria fatti da Frank Lloyd Wright nell'architettura, ottenendo di volta in volta esempi magistrali e ancora insuperati, nell'insieme, nella storia architettonica del Novecento. Vi si trovano disegni e foto in alta definizione delle case disegnate da Wright.
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Qui, inoltre, potrete trovare una trattazione sistematica, svolta in modo elementare, sull'argomento.

Gruppi e trasformazioni geometriche

Riassumendo (dal post precedente):
Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.
Se il gruppo gode anche della proprietà commutativa si dice che è un gruppo abeliano.
Se l'operazione binaria tra due elementi fornisce un terzo elemento ancora appartenente al gruppo, tale gruppo si dice gruppo chiuso; in caso contrario si dice gruppo aperto, oppure sottogruppo di un gruppo più ampio.

Osservazione - Nell'esporre la teoria dei gruppi al post precedente ci siamo serviti di esempi applicati al campo dell'aritmetica.
Ora prenderemo esempi dal campo delle trasformazioni geometriche nel piano per verificare tale teoria: in particolare, ci limiteremo alle isometrie e, anziché usare la suggestiva immagine di un cellulare, come fatto in precedenza, useremo un semplice punto, senz'altro più astratto, ma anche più idoneo a mettere a fuoco i problemi, nella certezza che ciò che accade ad un punto accade anche a tutti gli altri punti del piano.


Consideriamo la "traslazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo
1) L'insieme U è costituito dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso;
2) L'operazione binaria r è costituita da "traslare di una certa lunghezza un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione", in modo che dopo la prima traslazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda traslazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".

3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".
Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire una terza trasformazione -t'" (considerare i versi di percorrenza della figura). Esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [-t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.

4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "traslazione t' di lunghezza =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce spostamenti, rimane esattamente dov'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "traslazione di lunghezza =0", infatti P r 0 = P.

5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la traslazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "traslare di una lunghezza t un qualsiasi punto P lungo una retta che ha una certa direzione" (come definita all'inizio del paragrafo) possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro nel punto di partenza e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "traslare di una lunghezza -t' il punto P' lungo la stessa retta", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione conferma che l'elemento identità I esiste, cioè il punto P di partenza.

6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.

7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la traslazione è un gruppo commutativo.

8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.

9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.

Consideriamo la "rotazione nel piano" e verifichiamo se è un gruppo.
1) L'insieme U è costituito, come per la traslazione, dal piano alfa e gli elementi u sono i punti P di esso.
2) L'operazione binaria r è costituita da "ruotare di un certo angolo un qualsiasi punto P intorno ad un centro C", in modo che dopo la prima rotazione, che indicheremo con t', si trovi nella posizione P', e dopo una seconda rotazione, che indicheremo con t", si trovi nella posizione P".

3) Verifichiamo l'assioma dell'associatività. In simboli: P r [P' r P"] = [P r P'] r P".
Applicando la trasformazione t' al punto P, otterrò il punto P' dal quale, applicando la trasformazione t", otterrò il punto P". Se volessi tornare al punto di partenza P sarei obbligato ad eseguire la trasformazione -t'". Considerando i versi di percorrenza, esaminiamo le operazioni eseguite: t' + t" = t'".
Ora, esaminiamo se due diverse associazioni producono lo stesso risultato, cioè se: t' + [t" + t'"] è equivalente a [t' + t"] + t'".
Con la prima associazione, partendo da P e applicando t' sono arrivato a P', poi applicando t" + [- t'"] e, quindi, passando per P" sono tornato a P.
Con la seconda associazione, partendo da P e applicando [t' + t"] sono arrivato a P", poi applicando -t'" sono tornato a P.
Si può, pertanto, concludere che le due associazioni producono lo stesso risultato (facendo tornare in entrambi i casi, dopo le trasformazioni, il punto P nella posizione originaria) e quindi che la proprietà associativa è verificata.


4) Verifichiamo l'assioma dell'identità. In simboli: P r I = P.
Se applichiamo al punto P l'operazione r costituita da "ruotare di un angolo =0" possiamo constatare che il punto P, poichè non subisce movimenti, rimane esattamente d0v'è e che, quindi, l'elemento identità esiste ed è rappresentato da una "rotazione di angolo =0", infatti P r 0 = P.

5) Verifichiamo l'assioma dell'inverso. In simboli: t r inv.t = inv.t r t = I.
Se mediante la rotazione t' applicata al punto P siamo giunti al punto P', allora l'operazione inversa, inv.t', è quella che, venendo applicata al punto P', consente di ritornare al punto iniziale P.
Nella trasformazione "ruotare di un angolo t' un qualsiasi punto P intorno al centro C" possiamo constatare che esiste la possibilità di tornare indietro e che, quindi, esiste l'elemento inverso ed è rappresentato da "ruotare di un angolo -t' il punto P' intorno allo stesso centro", e lo indichiamo con inv.t'. Questa operazione fornisce il punto P di partenza, cioè l'identità I.


6) Conclusioni temporanee. Avendo verificato che la "traslazione nel piano" soddisfa gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso possiamo affermare che è un gruppo.

7) Esaminiamo, ora, se tale gruppo è anche commutativo. In simboli: t' + t" = t" + t'.
Poiché scambiando l'ordine delle operazioni si ha il medesimo risultato, la rotazione è un gruppo commutativo.


8) Infine, esaminiamo se il gruppo è chiuso. Se P e P' appartengono ad alfa, allora anche P" deve appartenere ad alfa. Non c'è dubbio che la traslazione è un gruppo chiuso.

9) Conclusioni finali. La trasformazione "traslazione nel piano" è un gruppo abeliano chiuso.

Si potrebbero esaminare altri gruppi, come ad esempio la riflessione nel piano, la rototraslazione o due rotazioni ciascuna con un diverso centro, con il medesimo metodo e aiutandoci con una figura.
In generale è possibile che il gruppo non sia commutativo, oppure che il risultato della trasformazione, in alcune situazioni, non appartenza al gruppo: in quest'ultimo caso, trattandosi di un gruppo aperto, si dirà che esso è un sottogruppo di un gruppo più ampio.
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Pro memoria
March p.56
vedi anche Paolo Bonavoglia
per le simmetrie Corrado Brogi
gruppi di trasformazioni Grossman
vedi anche tassellatura in wiki
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Teoria dei gruppi (principi)



La teoria dei gruppi è stata elaborata nell'arco di oltre un secolo ad iniziare dai primi studi pionieristici del 1771 ad opera del matematico italiano J.L. Lagrange (1736-1813) (all'anagrafe: Lagrangia Giuseppe Lodovico) per proseguire con i lavori del matematico norvegese N.H. Abel (1802-1829) e del matematico francese A.L. Cauchy (1789-1857).
Il termine "gruppo", invece, fu introdotto solo nel 1832 dal giovane matematico francese E. Galois (1811-1832) (link al film "Non ho tempo" sugli ultimi anni della sua avventirosa vita,; altro link all' Archivio) che segnò un importante punto di arrivo per la teoria, sul quale si innestarono gli approfondimenti e le precisazioni di altri e, in special modo, nel 1854 del matematico inglese A. Cayley (1821-1895), al quale si deve anche la teoria delle matrici.
La teoria dei gruppi fu ulteriormente indagata nel corso del '900 dal matematico inglese H.S. MacDonald Coxeter (1907-2003), il quale fu l'ispiratore di alcune opere di M.C. Escher (1898-1972) e di alcune forme di R. Buckminster Fuller (1895-1983).

In questo post introduttivo prenderemo spunto dalle operazioni elementari dell'aritmetica, in quanto nei precedenti corsi di studio l'argomento viene trattato in modo appropriato, mentre nei successivi post tratteremo in genere operazioni diverse da quelle aritmetiche e, in principal modo, tratteremo quelle specifiche operazioni che già conosciamo e che sono le trasformazioni geometriche.

Convenzione - Nel seguito, quando si parlerà di operazione generica in un gruppo la si indicherà con il simbolo qui espresso tra parentesi (r), mentre se l'operazione riguarda una delle operazioni elementari dell'aritmetica la si indicherà con i noti simboli (+), (-), (x) e (:) oppure (/).

Gruppi
Un gruppo è definito come un insieme di elementi ed una sola determinata operazione che è possibile eseguire tra due di quegli elementi. Quella operazione costituisce la legge di composizione (detta anche di trasformazione, o di applicazione) degli elementi (o tra gli elementi) dell'insieme.
Ad esempio: l'insieme dei numeri naturali e l'operazione di addizione costituiscono il gruppo "somma tra numeri naturali"; se al posto di numeri naturali sostiuisco numeri razionali, avrò un diverso gruppo denominato "somma tra numeri razionali"; se al posto di addizione sostituisco moltiplicazione avrò un altro gruppo ancora, denominato "moltiplicazione di numeri naturali".

Il risultato dell'operazione, in ogni caso, deve essere un elemento appartenente all'insieme di cui era costituito il gruppo.
Ad esempio: per il gruppo "somma di numeri naturali" posso sommare 3 e 4, e come risultato avrò un unico elemento che vi corrisponde, e cioè 3 + 4 = 7 che è anch'esso un elemento dell'insieme dei numeri naturali; così per il gruppo "moltiplicazione di numeri naturali" posso moltiplicare 5 con 8, e come risultato avrò un unico elemento, e cioè: 5 x 8 = 40.
Naturalmente, posso assoggettare all'operazione anche due elementi non distinti, e cioè due elementi identici (es.: 4 + 4 = 8).

Definizione: un gruppo è una operazione binaria in un insieme (la parola "binaria" si riferisce al fatto che avviene tra due elementi dell'insieme).

Sottogruppi
In un gruppo vi possono essere dei sottogruppi, all'interno dei quali l'operazione può fornire come unico risultato ancora un elemento del sottogruppo, oppure può fornire un elemento che, pur non appartenendo al sottogruppo, appartiene comunque al gruppo.

Ad esempio: il gruppo "somma di numeri pari" (considerato come sottogruppo del più ampio gruppo "somma di numeri naturali") è un gruppo, in quanto sommando due numeri pari qualsiasi si ottiene un elemento che appartiene ancora al gruppo (es.: 4 + 8 = 12).
In questo caso, si dice che il gruppo "somma di numeri pari" è un sottogruppo chiuso del gruppo "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione non fa uscire il risultato dal gruppo stesso.

Al contrario, il gruppo "somma di numeri dispari" non è un gruppo, in quanto vi sono casi in cui sommando due elementi presi a caso si può ottenere per risultato un elemento che non appartiene all'insieme "numeri dispari" (es.: 5 + 7 = 12).
In quest'ultimo caso, si dirà che il gruppo "somma di numeri dispari", pur non essendo un gruppo, è un sottogruppo aperto in un gruppo più ampio denominato "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione, in alcuni casi, fornisce per risultato un elemento che è fuori dal sottogruppo stesso.

Proprietà commutativa
Si dice che un gruppo gode della proprietà commutativa quando scambiando l'ordine dei due elementi da assoggettare all'operazione si ottiene lo stesso risultato.
Un gruppo commutativo è detto gruppo abeliano in onore del matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829).

Ad esempio: il gruppo "somma dei numeri naturali" è commutativo (es.: 8 + 5 = 5 + 8), come pure il gruppo "moltiplicazione di numeri reali" (es.: 3 x 5 = 5 x 3), mentre il gruppo "differenza di numeri naturali" è non commutativo (es.: 8 - 5 fornisce un risultato diverso da 5 - 8).

Assioma dell'associatività
Si dice che un gruppo gode della proprietà associativa se, presi tre elementi dell'insieme, associandoli in un certo modo e assoggettandoli due volte all'operazione r, fornisce lo stesso risultato anche qualora siano associati diversamente.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" si ha: a x (b x c) = (a x b) x c, infatti p. es. 5 x (6 x 7) = 210, come (5 x 6) x 7 = 210, per cui tale gruppo è associativo.
La contrario, nel gruppo "divisione di numeri reali" si ha: a : (b : c) è diverso da (a : b) : c, infatti 5 : (6 : 7) = 5,833, mentre (5 : 6) : 7 = 0,119, per cui tale gruppo non è associativo.

Assioma dell'identità
Si dice che un gruppo è dotato dell'elemento "identità", che viene indicato con una "i" maiuscola corsiva (I), se assoggettando un qualsiasi suo elemento dell'insieme all'operazione r con l'elemento "identità" si ottiene come risultato l'elemento stesso.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento neutro, con il senso di cui sopra.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" l'elemento "identità" è il numero 1, infatti si ha 5 x 1 = 1 x 5 = 5, pertanto il ruolo dell'elemento neutro è svolto dal numero 1.
Al contrario, nel gruppo "somma di numeri reali" l'elemento "identità" non è il numero 1 ma il numero 0, infatti 5 + 0 = 0 + 5 = 5, mentre applicando l'operazione al numero "identità", che prima abbiamo visto essere valido per il gruppo "moltiplicazione di numeri reali", cioè al numero 1 si avrebbe 5 + 1 = 1 + 5 = 6 che è diverso dall'elemento di partenza che era il numero 5.

Richiamo - In aritmetica, si dice che due elementi sono reciproci (sinonimo di inverso) se il loro prodotto fornisce l'elemento "unità". Ad esempio, il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci uno dell'altro. Infatti. 3 x 1/3 = 1/3 x 3 = 3 : 3 = 1.

Assioma dell'inverso
Si dice che un elemento u di un gruppo ha un unico elemento inverso, indicato con "inv.u", quando, assoggettando entrambi all'operazione, si ottiene per risultato l'elemento identità I (come definito nell'assioma precedente). In pratica: u r inv.u = inv.u r u = I.
Resta inteso che l'opposto dell'opposto di un elemento è l'elemento stesso, cioè: inv.inv.u = u.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento simmetrico, con il senso di cui sopra.

Riepilogo della nomenclatura usata - Gruppo: G - Insieme di elementi: U - Elementi: u - Operazione binaria: r - Elemento identità: I - Elemento inverso di u: inv.u.

Riassumendo
Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.

Esempi

Osservazione - Se si volessero trascurare alcuni o tutti gli assiomi di cui sopra, il campo di studio si allargherebbe e si entrerebbe nello studio di strutture algebriche diverse e più generali, delle quali quella denominata Magma è quella con minori vincoli.
Analoga situazione è stata riscontrata nell'esame delle trasformazioni geometriche, per cui nel passare dalle isometrie alla proiettività e oltre abbiamo notato come diminuiscano gli invarianti del piano e delle figure che si possono prendere su di esso e, inversamente, come aumentino le azioni che possiamo fare riguardo alle figure e a tutto il piano.
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Le trasformazioni geometriche e il loro impiego

Le trasformazioni geometriche piane illustrate nel post precedente si possono dividere in due gruppi:
1) trasformazioni isometriche, e 2) trasformazioni non isometriche.

Le trasformazioni isometriche

Il gruppo formato da identità, traslazione, rotazione e riflessione è chiamato più propriamente isometrie, in quanto non trasformano le lunghezze dei segmenti tra due punti qualsiasi presi a caso sulla figura: le isometrie comprendono anche altre trasformazioni, o combinazioni di trasformazioni, di grande interesse per l'arte.
L'identità, che a prima vista potrebbe sembrare di scarso interesse dal momento che non opera alcuna trasformazione, ha invece una importanza notevole se considerata come risultato di una combinazione di trasformazioni.

La trasformazione della similitudine (detta anche omotetia) opera un ingrandimento o una riduzione uniforme di tutta la figura (come avviene in una fotocopia ingrandita o ridotta). Queste trasformazioni sono oggetto della geometria elementare propriamente detta e vengono trattate in altri corsi di studio.

Inoltre, traslazione e rotazione vengono anche chiamate movimenti, intendendo quello che avviene comunemente su un tavolo quando si fa slittare un foglio senza sollevarlo (movimento piano), o l'apertura di una porta che ruota intorno alla retta delle cerniere (movimento nello spazio); si dicono anche movimenti rigidi quando si vuole sottolineare che non c'è deformazione della figura.
In geometria, la rotazione è anche sinonimo di simmetria centrale.
Infine, la traslazione è un caso particolare di rotazione che avviene quando il centro di rotazione si trova all'infinito in direzione ortogonale alla direzione di traslazione.

La riflessione è detta anche ribaltamento, proprio perchè, oltre ad essere evidenziabile mediante uno specchio e, quindi, senza sollevare la figura dal piano, la si ottiene anche rovesciando sotto-sopra la figura stessa e, quindi, sollevandola dal piano: per questo ultimo motivo la riflessione potrebbe essere annoverata anche nelle trasformazioni spaziali.
In geometria, la riflessione è anche sinonimo di simmetria assiale.

Esaminando bene quanto esposto, si nota che nel piano vi sono solo due tipi distinti di isometrie: quelle che conservano l'ordine, che sono le rotazioni, e quelle che invertono l'ordine, che sono le riflessioni. Tutte le altre trasformazioni o sono casi particolari di queste due, o sono combinazioni di queste due.
Le trasformazioni non isometriche
Le trasformazioni non isometriche, invece, apportano variazioni non solo alle lunghezze e agli angoli ma, in taluni casi, come nella topologia, possono apportare variazioni talmente accentuate da compromettere il riconoscimento della figura di partenza.
Queste trasformazioni sono oggetto di apposite branche della geometria, per cui si parla di geometria affine, di geometria proiettiva e di geometria topologica o topologia.

Inoltre, dalla fine del 1700 e fino a tutto il 1800 si sono venute precisando le geometrie non euclidee, che apportano nuova linfa nel sapere geometrico e nell'immaginazione artistica.

Dalla figura complessiva si nota come nel passaggio dalla prima trasformazione esposta, che è l'identità, e fino all'ultima, che è la diffusione di punti, si hanno trasformazioni in un numero sempre maggiore di caratteristiche della figura iniziale, a fronte di un sempre minor numero di caratteristiche che si conservano immutate, o invarianti.
Per quanto riguarda la riflessione, poi, occorre precisare che essa non ha una posizione precisa nella gerarchia delle trasformazioni, ma che può essere applicata sia da sola, sia in qualsiasi fase di una combinazione di trasformazioni.

Gli impieghi nelle arti e nella scienzaNelle arti, si impiegano frequentemente le trasformazioni geometriche: nelle arti figurative e nell'architettura la simmetria (sia assiale che centrale) viene impiegata per il disegno di pareti e pavimenti di edifici e di piazze come per lo studio degli ordini architettonici, classici o moderni che siano. Un notevole impiego ne viene fatto nel disegno di planimetrie sia dell'interno di edifici che di nuovi quartieri.
E' da ricordare la magistrale opera grafica e pittorica di Mauritius Cornelius Escher (1898-1972) (vedi nel sito web nella colonna a sinistra: Picture Gallery), che senza una approfondita conoscenza della simmetria spaziale, e un altrettanto profondo amore per la ricerca, non sarebbe stata mai possibile; non è un caso che fosse amico del matematico inglese Harold Coxeter (1907-2003) e che lo frequentasse con assiduità.
Inoltre, occorre citare anche August Ferdinand Moebius (1790-1868) per il famoso Nastro di Moebius, che ha suscitato una infinità di applicazioni nell'arte, specialmente negli ultimi decenni.

Per quanro riguarda le trasformazioni non isometriche occorre osservare come la prospettiva, ad esempio, venga impiegata sistematicamente dai tempi di Filippo Brunelleschi (1377–1446) che, per altro, riprese studi di Al-Kindi (801-866 d.C.) sull'ottica, sia per l'impianto di rappresentazioni pittoriche che per il controllo visivo dello spazio architettonico. Inoltre, applicazioni della prospettiva, come l'anamorfosi, sono state impiegate ad iniziare dal 1500 fino ad oggi dai pittori ed oggi trova impiego anche nel campo della pubblicità cartellonistica, mentre la fotogrammetria ottica ha avuto impiego da quando la fotografia, come mezzo di rappresentazione, è diventata accessibile a molti utenti: oggi, tuttavia, appare soppiantata dai più attuali strumenti informatici che si basano sul cosiddetto "raddrizzamento digitale" dell'immagine fotografica.

Le geometrie non euclidee, inoltre, sono state oggetto di molta attenzione da parte di ingegneri e architetti fin dagli ultimi decenni del 1800 e le prime applicazioni hanno visto due nuove forme, il paraboloide iperbolico, impiegato da Antoni Gaudì (1852-1926) nella Sagrada Familia a Barcellona e l'iperboloide ad una falda impiegato da Vladimir Shùjov (1) (scritto anche Shukhov, vedi biografia, oppure Suchov) (1853-1939) per la costruzione di piloni e tralicci elettrici e di telecomunicazione in Russia. Da allora, di entrambe ne è stata fatta una estesa applicazione sia nell'architettura che nell'arredo.

La topologia, ultima delle geometrie sistematizzate, non sembra ancora avere impieghi usuali nel campo dell'architettura, ma presenta comunque diverse interessanti applicazioni nel campo delle arti figurative.
Tuttavia, sia alla mostra Architettura a Palazzo Ducale di Genova 2004, sia alla Biennale di Architettura 2004 di Venezia sembra proprio essere stato l'impiego della topologia nell'architettura (link 1 e link 2) a suggerire forme tanto diverse dal "parallelepipedo" in auge ormai dall'inizio del movimento moderno, e questo è avvenuto in coincidenza con la presenza sul mercato, da una decina di anni, di programmi informatici che consentono con facilità tali articolazioni geometriche.
A ben vedere però si hanno esempi fin dagli anni '20 e '40 del XX secolo in cui la forma della scatola viene piegata e manipolata liberamente, come hanno fatto, talora, Mendelshon, (1887-1953), Le Corbusier (1887-1965) e Wright (1867-1959), pur non disponendo di computer, segno, questo, che la geometria delle forme architettoniche può essere assolutamente indipendente dallo strumento usato per disegnarle, allora la riga e il compasso, oggi il PC.
Infine, è da ricordare che oggetti topologicamente molto complessi non sono tipici di oggi, ma che l'uomo ha sempre realizzato forme complesse sia dal punto di vista topologico che relativamente alla simmetria piana e spaziale, come certe sculture africane (link 1, link 2) ed il leggio afgano (link 1, link 2).

Occorre anche ricordare che la geometria proiettiva è stata la regina incontrastata nel calcolo delle strutture degli edifici fino all'avvento dei computer e dei programmi software dedicati a questo impiego, pressappoco fino agli anni settanta del secolo scorso: infatti, nel campo della meccanica classica (non relativistica) quanto può calcolarsi mediante i metodi dell'analisi matematica può essere fatto anche con i metodi della geometria proiettiva impiegandola nella statica grafica , quindi, con sola riga e compasso, producendo gli stessi risultati.
Infine la geometria proiettiva è applicata non solo nella statica grafica, ma anche nella ricerca dello stato di tensione interna delle membrature strutturali e può, pertanto, essere considerata del tutto autonoma ed alternativa ai più recenti metodi analitici per la scienza delle costruzioni, che ormai da oltre un secolo, con le espressioni di De Sain Venant (1797-1886), può ritenersi matura e collaudata.
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1 - Vedi anche la rivista Casabella n. 573, novembre 1990.
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