Le operazioni geometriche fondamentali

Le operazioni geometriche fondamentali della geometria proiettiva sono due: la proiezione e la sezione.

La proiezione
a) Proietare un punto da un altro punto significa costruire la retta che li contiene entrambi.
b) Proiettare una retta da un punto (centro di proiezione) significa costruire un fascio di rette, le quali giaceranno su un piano costituito dal centro di proiezione (centro del fascio) e dalla retta data.
c) Proiettare un piano da un punto (centro di proiezione) significa costruire la stella delle rette che congiungono il punto con tutti i punti del piano.

La proiezione può avvenire sia da un punto proprio, e si chiama proiezione conica o centrale, sia da uno improprio, e si chiama proiezione cilindrica o parallela; in quest'ultimo caso avremo la costruzione di rette parallele alla direzione stabilita dal punto improprio. In pratica, si osserva che avremo una proiezione parallela quando la distanza tra l'occhio dell'osservatore e l'oggetto è molto grande rispetto alle dimensioni dell'oggetto stesso, per cui non siamo in grado di apprezzare se le rette proiettanti siano parallele o meno.
Ad esempio, l'assonometria è una proiezione da un punto all'infinito per cui le rette proiettanti sono parallele ad una direzione prefissata; l'assonometria conserva il parallelismo, nel senso che i segmenti paralleli della figura iniziale F risultaranno paralleli anche nella figura proiettata F'. Un altro esempio di proiezione parallela è costituito dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente luminosa che si trova all'infinito, come il sole, e che investe un oggetto.
Al contrario, la prospettiva è una proiezione da un punto proprio (l'occhio dell'osservatore, centro di proiezione) per cui le rette e i piani proiettanti i punti e i segmenti della figura F passano tutte per un punto; la prospettiva non conserva il parallelismo. Un altro esempio di proiezione conica è dato dalle ombre prodotte su un piano da una sorgente a distanza propria, come un lampione stradale o una lampada all'interno di una stanza, e che investe un oggetto.

La sezione
a) Nel piano, sezionare una retta con un'altra retta significa individuare il loro punto comune.
b) Nello spazio, sezionare una retta con un piano significa individuare il loro punto comune, mentre sezionare un piano con un altro piano significa individuare la loro retta comune.

La proiezione e la sezione, congiuntamente
a) Proiettate un punto A dal punto P su un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire la retta r che passa per A e P e poi sezionare la retta r con il piano alfa individuando, così, il loro punto comune P'.
b) Proiettare una retta r dal punto P sopra un piano alfa, non passante per P, significa prima costruire il piano beta che passa per P ed r, poi sezionare tale piano con il piano alfa individuando, così, la loro retta comune r'.
c) Proiettate un punto A da una retta r su una retta s, sghemba rispetto ad r, significa prima costruire il piano alfa, passante per A ed r, e poi sezionare questo con la r individuando, così, il loro punto comune A'.

Osservazioni1) Se la figura F da proiettare è costituita da più punti e più rette, occorre compiere una o più operazioni di proiezione e sezione per ottenerne la proiezione F' (detta anche immagine) su un piano.
2) Le due operazioni di proiezione e sezione si corrispondono in modo duale, sia nel piano che nello spazio.
3) Le operazioni di proiezione e sezione conservano il birapporto, cioè la figura F (ad esempio, una retta con 4 punti A, B, C e D) prima della proiezione o della sezione e la figura F' dopo tali operazioni hanno il medesimo birapporto.

Per una trattazione più immaginativa e intuitiva vedi questo post che è una riflessione di base su quanto detto sopra.
.