Le forme geometriche fondamentali sono dodici e si dividono in quattro specie, la cui distinzione è basata sul numero di coordinate proiettive necessarie a descriverle.
Attribuendo, qui, alla parola "spazio" il senso di dimensione spaziale, le forme di prima specie sono spazi ad una dimensione (cioè occorre una sola coordinata per descriverli), quelle di seconda specie sono spazi a due dimensioni, ecc..
Le forme geometriche fondamentali sono state sistematizzate nel 1832 dal matematico svizzero J. Steiner (1796-1863).
Classificazione in base alla specie
A - Forme geometriche fondamentali di prima specie
A1 - La retta punteggiata, cioè l'insieme di tutti i punti di una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il punto.
A2 - Il fascio di rette, cioè l'insieme delle rette che su un piano passano per un punto: il sostegmo è costituito dall'insieme del piano e del punto, l'emento generatore è la retta.
A3 - Il fascio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per una retta: il sostegno è la retta, l'elemento generatore è il piano.
B - Forme geometriche fondamentali di seconda specie
B1 - Il piano punteggiato, cioè l'insieme di tutti i punti di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è il punto:
B2 - Il piano rigato, cioè l'insieme di tutte le rette di un piano: il sostegno è il piano, l'elemento generatore è la retta:
B3 - La stella di rette, cioè l'insieme di tutte le rette che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è la retta.
B4 - La stella di piani, cioè l'insieme di tutti i piani che passano per un punto dello spazio: il sostegno è un punto dello spazio, l'elemento generatore è il piano.
C - Forme geometriche fondamentali di terza specie
C1 - Lo spazio di punti, cioè l'insieme di tutti i punti dello spazio: lo spazio è il sostegno, l'elemento generatore è il punto.
C2 - Lo spazio di piani, cioè l'insieme di tutti i piani dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è il piano.
D - Forme geometriche fondamentali di quarta specie
D1 - Lo spazio di rette, cioè l'insieme di tutte le rette dello spazio: il sostegno è lo spazio, l'elemento generatore è la retta (1).
D2 - La retta impropria, cioè l'insieme di tutti i punti impropri delle rette di un piano: il sostegno è la retta impropria e l'elemento generatore è il punto improprio (2).
D3 - Il piano improprio, cioè l'insieme dei punti impropri di tutte le rette dello spazio e delle rette improprie di tutti i piani dello spazio (2).
Classificazione in base all'elemento generatore (3)
Punto
A1 - Retta punteggiata.
B1 - Piano punteggiato.
C1 - Spazio punteggiato.
Retta
A2 - Fascio di rette.
B2 - Piano di rette.
B3 - Stella di rette.
D1 - Spazio di rette.
Piano
A3 - Fascio di piani.
B4 - Stella di piani.
C2 - Spazio di piani.
Classificazione in base al sostegno Punto
A2 - Fascio di rette (su un piano).
B3 - Stella di rette.
B4 - Stella di piani.
Retta
A1 -Retta punteggiata.
A3 - Fascio di piani.
Piano
B1 - Piano di punti.
A2 - Fascio di rette (sul piano).
B2 - Piano rigato.
Spazio
C1 - Spazio di punti.
C2 - Spazio di piani.
D1 - Spazio di rette.
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.Le forme geometriche fondamentali di seconda specie contengono infinite forme fondamentali di prima specie, e altrettanto avviene di quelle di terza specie rispetto a quelle di seconda specie.
Per quanto riguarda lo spazio di rette, che è trattato sempre molto brevemente e solo in alcuni testi, occorre osservare, da un punto di vista esclusivamente formale, che, in base alla figura, presenta forti analogie con il fascio di rette, per cui appare lecito considerarlo duale di se stesso.
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(1). Confronta:
-Aschieri, Geometria projettiva del piano e della stella, pag. 12;
-Bertini Eugenio, Complementi di geometria projettiva, Zanichelli 1910 e 1927, pag.(?);
-Manara Carlo Felice, Corso di geometria proiettiva, Ancona 17-20 maggio 1995, appunti manoscritti del 19 maggio.
-Campedelli Luigi, Lezioni di geometria, Vol 2° Parte I I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, Cedam, Padova, 1972, pag. 88;
-Battaglini Giuseppe, Teoria elementare delle forme geometriche, Parte I, pag. 1, in Giornale di matematiche, Vol. 1, 1863, pag. 1-6, 97-109, 161-169, 227-239, .
-D'Ovidio Enrico, Teoria analitica delle forme geometriche fondamentali, 1885, pag. 169.
(2) Cfr.: C. G. C. V. Staudt (immagini), Geometria di posizione, § 61 a pag. 23 (traduzione di M. Pieri, con introduzione di C. Segre, Torino 1889; originale: Die geometrie der lage, Nurnberg 1847).
(3). Cfr.: Castelnuovo, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, pag. 3, nota 1, nella quale riporta: "Lo spazio rigato, o insieme di tutte le rette dello spazio, non viene considerato d'ordinario come forma fondamentale".
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