Richiami di geometria elementare dello spazio

a) Parallelismo1) Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta sia parallela ad un piano è che sia parallela a una retta contenuta nel piano.
2) Per un punto P si può condurre un solo piano parallelo ad un piano dato alfa: esso è il luogo delle rette passanti per P e parallele al piano alfa.
3) Se due piani sono paralleli, un terzo piano che interseca il primo, interseca anche il secondo.
4) Se due piani alfa e beta sono paralleli rispettivamente ad altri due piani gamma e a delta, la retta comune ad alfa e a beta è parallela alla retta comune a gamma e a delta.

b) Angolo tra due rette
1) L'angolo tra due rette incidenti è misurato sul loro piano di giacenza.
2) Se le rette sono sghembe, allora per loro angolo si intende quello formato dalle parallele ad esse condotte per un punto qualsiasi.

c) Perpendicolarità tra piano e retta
1)Una retta è perpendicolare ad un piano quando è perpendicolare ad almeno due rette contenute nel piano.
2) Per un punto si può condurre una sola retta perpendicolare ad un piano dato.
3) Per un punto si può condurre un solo piano perpendicolare ad una retta data.
4) Per un punto passano infinite rette perpendicolari ad una retta data: esse sono tutte le rette passanti per il punto e appartenenti a quel piano per esso che è perpendicolare alla retta data.
5) Una retta a sia perpendicolare e incidente alla retta b, e questa sia perpendicolare e incidente alla retta c: se la retta a è perpendicolare al piano formato da b e c, allora segue che c è perpendicolare al piano formato da a e da b (teorema delle tre perpendicolari).

d) Perpendicolarità tra piani
1) Un piano è perpendicolare ad un altro piano se contiene una retta perpendicolare a questo.
2) Per una retta non perpendicolare ad un piano si può condurre un solo piano perpendicolare ad esso: viene individuato dalla retta data e dalla retta perpendicolare al piano dato condotta da un suo punto.
3) La proiezione ortogonale su un piano alfa di una retta non perpendicolare ad esso, è la retta di intersezione tra alfa e il piano passante per la retta condotto perpendicolarmente ad alfa.

e) Distanze
1) La distanza di un punto da un piano, o da una retta, si misura sulla perpendicolare dal punto al piano, o alla retta data.
2) La distanza di due piani paralleli si misura sulla perpendicolare ad essi.
3) La distanza minima tra due rette sghembe è la distanza tra i piani condotti per ciascuna di esse e paralleli all'altra retta.

f) Pependicolare a due rette sghembe
Vi è una sola retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe: considerato un piano alfa parallelo ad entrambe, e condotto un piano per ciascuna retta pependicolamente ad alfa, la distanza va cercata sulla retta di intersezione dei due piani.

g) Angoli
1) L'angolo tra un piano ed una retta non perpendicolare ad esso è l'angolo formato tra la retta e la sua proiezione ortogonale al piano.
2) L'angolo tra due piani si misura tra le rette di intersezioni di questi con un terzo piano condotto perpendicolarmente alla loro retta comune.

Vedi la convenzione sull'uso dei simboli.
Links utili per completare e approfondire (con molte figure):
Rette e piani nello spazio euclideo,
Angoli.

Per una lettura veramente affascinante, a metà tra la storia e il brivido di riscoprire nozioni apprese nell'infanzia, si consiglia, per questo post, la lettura dei capitoli da 1 a 5 del libro di Piergiorgio Odifreddi C'è spazio per tutti, Mondadori 2010. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E il suo sito di presentazione dei suoi libri.
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Richiami di geometria elementare del piano

Con l'espressione geometria elementare si deve intendere quella parte della geometria contenuta negli Elementi di Euclide fondata sui cinque postulati euclidei e che richiedono metodi pertinenti. Non sono, infatti, pertinenti ad essa i metodi adottati, ad esempio, nella geometria analitica, nè quelli della geometria proiettiva (in quanto questa estende lo spazio agli elementi impropri o all'infinito, che Euclide non contemplava). (Scarica la versione ristampata in PDF de gli Elementi nella traduzione di Niccolò Tartalea Brisciano, al secolo Niccolò Fontana, detto Tartaglia, Venezia 1565, oppure la versione originale).

La geometria elementare utilizza le operazioni della congruenza e della similitudine:
a) con la congruenza si confronta per sovrapposizione sia l'ampiezza degli angoli formati da due semirette con la medesima origine in un punto, sia la distanza tra due punti su una retta, per vedere se le due figure sono uguali, e ciò lo si può fare sul medesimo piano traslando e ruotando la figura fino a sovrapporla a quella iniziale;
b) mentre con la similitudine si confronta l'ampiezza degli angoli, come nel caso della congruenza, e la proporzionalità delle distanze tra coppie di punti corrispondenti, cioè la lunghezza dei segmenti (vedi un video fantastico su YouTube in cui si può constatare come le singole figure vengono sottoposte a quelle due operazioni).
Qualora si volessero maggiori informazioni sulle geometrie non euclidee, sorte nel corso del XVIII sec. e sviluppate compiutamente nel XIX sec., si rimanda a questo link wikipedia.

a) Postulati
1) Due punti individuano una retta.
2) Per un punto non appartenente ad una retta si può condurre una sola parallela ed una sola perpendicolare ad essa.
3) Tre punti non allineati, oppure una retta ed un punto ad essa esterno, oppure due rette, individuano un piano.

b) Teorema di Talete (640/624 circa - 547 a.C. circa)
Tre o più parallele determinano su due rette trasversali due insiemi di segmenti proporzionali.

c) Teorema di Pitagora (575 – 490 a.C)In un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti. Vedi la dimostrazione mediante la scomposizione in triangoli, nota ai cinesi di un millennio prima di Pitagora.

d) Teoremi di Euclide (330 - 277 a.C.)1) in un triangolo rettangolo, il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa stessa. Lo stesso teorema può essere formulato in modo diverso così: In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa.
2) In un triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati la proiezione dei cateti sull’ipotenusa. Lo stesso teorema può essere formulato in modo diverso così: In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

e) Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Condotta una secante alla circonferenza per il punto dato, il prodotto dei segmenti che hanno per estremi il punto e le intersezioni della secante con la circonferenza è costante, ed è detto potenza.

Per approfondire ad un livello maggiore la Geometria Razionale. Nozioni sugli angoli.
Vedi la convenzione sull'uso dei simboli.
Infine: Il triangolo, che meraviglia!, di Renato Betti (su MatePristem).
Per una lettura veramente affascinante, a metà tra la storia e il brivido di riscoprire nozioni apprese nell'infanzia, si consiglia, per questo post, la lettura dei capitoli da 1 a 5 del libro di Piergiorgio Odifreddi C'è spazio per tutti, Mondadori 2010. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E il suo sito di presentazione dei suoi libri.
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Introduzione alla Geometria descrittiva

Campo della geometria proiettiva e descrittiva
La geometria descrittiva ha come base teorica la geometria proiettiva del piano: questa è ricompresa nell'ambito della Geometria Proiettiva che studia le proprietà delle figure geometriche fondamentali come, ad esempio, la retta punteggiata, il piano punteggiato, il piano rigato, la stella di rette, la stella di piani e altri.
La geometria proiettiva, a sua volta, è basata sulla Geometria Euclidea estesa agli elementi geometrici impropri quali il punto improprio della retta (detto anche punto all'infinito della retta), la retta impropria del piano (detta anche retta all'infinito) e il piano improprio dello spazio (detto anche piano all'infinito). La geometria proiettiva è una branca della geometria che, a sua volta, è una branca fondamentale della matematica. La storia della matematica è parte integrante della disciplina.

Scopo della geometria descrittiva
La geometria descrittiva, mediante i singoli metodi di rappresentazione, secondo quanto lucidamente esposto da Gaspard Monge nel 1768, ha lo scopo di rappresentare i corpi e le figure che si trovano nello spazio tridimensionale su un piano bidimensionale (foglio da disegno) e, viceversa, la comprensione o la ricostruzione esatta del corpo o della figura reale desumendola dal disegno.

Contenuto della geometria descrittiva
La geometria descrittiva studia i metodi di rappresentazione come, ad esempio, le proiezioni ortogonali (dette anche proiezioni mongiane), le proiezioni centrali (dette anche prospettiva), le proiezioni assonometriche e altri metodi di minore impiego.

Cenni storici
La parola geometria indicava originariamente la misura della terra, ed era praticata soprattutto allo scopo di tassare i terreni fertili, come avvenne in Egitto per millenni prima dell'era dei Greci. Era praticata anche dalla navigazione, insieme all'astronomia, e serviva a stabilire le rotte specialmente durante la notte con riferimento agli astri.
La geometria proiettiva "moderna", invece, si configura nel corso del 1600 a partire da Girard Desargues (1591-1661) e Blaise Pascal (1623-1662), mentre subisce un certo rallentamento fino quasi alla fine del 1700 per il maggiore interesse suscitato dall'aspetto analitico per oltre un secolo, specialmente in Inghilterra, con la pubblicazione nel 1636 di Ad locos planos et solidos isagoge di Pierre De Fermat (1601-1665) e nel 1637 del Discorso sul metodo con l'appendice La Geometrie di René Descartes (1596-1650).
Gli studi sull'aspetto proiettivo riprendono vigore con Monge e alcuni suoi allievi come F.J. Servois (1768-1847), J.D. Gergonne (1771-1859), C.J. Brianchon (1783-1864) e, soprattutto, con la sistemazione definitiva di Jean Victor Poncelet (1788-1867) nel 1822 con la prima pubblicazione del Traité des propriétés projectives des figures, come sistemazione degli appunti del 1813-14 tracciati durante la prigionia della campagna napoleonica di Russia. Prima di Desargues vi erano stati studi parziali come, così pure dopo Poncelet, vi furono approfondimenti e precisazioni, soprattutto relativi ai fondamenti della disciplina e ad una visione unitaria anche rispetto alla geometria euclidea, cui parteciparono M. Chasles (1793-1880), G.P. Dandelin (1794-1847), J. Steiner (1796-1863), K.G.C. von Staudt (1798-1867), J. Plucker (1801-1868) e J.W.R. Dedekind (1831-1916) e, non per ultimi, David Hilbert (1862-1943) e Harold Coxeter (1907-2003).

La geometria descrittiva, propriamente detta, viene sistematizzata, nella forma ancora oggi studiata, da Gaspard Monge (1746-1818) che, tra il 1768 e il 1771, elabora un testo di Géométrie descriptive (tomo 1 e 2), che verrà tenuto segreto nell'ambito militare e pubblicato in prima edizione in Francia solo nel 1792 e ristampato nel 1798 con l'introduzione e, con l'aggiunta di due brevi capitoli sulle ombre e sulla prospettiva, in seconda edizione nel 1820, mentre apparirà tradotto in Italia nel 1838. Il libro tratta prevalentemente il metodo delle proiezioni ortogonali, poiché anche la teoria delle ombre è esposta facendo uso dello stesso metodo, e la prospettiva contiene una sola figura con il metodo di Leon Battista Alberti (1404-1472), mentre non contiene l'assonometria. La geometria descrittiva, nella forma mongiana, verrà definita il necessario complemento della geometria analitica di Renato Cartesio (1596-1650) (1).

Nel 1642 un anonimo gesuita francese pubblica La Perspective pratique che contiene l'assonometria militare, poi erroneamente attribuita nel 1811 a Giuseppe Tramontini (1768-1852), docente presso la Regia Scuola Militare del Genio e dell'Artiglieria.
Oltre che dalle necessità dei pittori rinascimentali, fin dal 1500 gli studi sulla meteria prenderanno spunto anche dalla necessità di disegnare con esattezza i conci di pietra e l'incastro delle travature per le sempre più ardite costruzioni civili, militari, stradali e religiose.
Le opere di Monge e Poncelet, e le altre di numerosi studiosi, non sono altro che l'estrema sintesi del rigore teorico di tre secoli di ricerche matematiche, che di li a poco verranno arricchite con le nuove geometrie "non euclidee", ad opera di Gauss, Lobacevskj, Bolyai e Riemann e, verso la fine del 1800, con le scoperte geometriche di Minkowski, Poincaré e Ricci-Corbastro che porteranno alla teoria della relatività ristretta, formulata da Einstein nel 1905.
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1 - Michel Chasles, Aperçu historic sur l'origine et le developpement des methodes en geometrie, Bruxelles 1837, pag. 189.
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