tag:blogger.com,1999:blog-78053748131631060172024-03-13T01:32:31.064+01:00DESCRITTIVA VLTRA, geometria, الهندسة الوصفية, Дескриптивната Начерта́тельнаяGeometria descrittiva xeometría, الهندسة الوصفية, Дескриптивната Начерта́тельная геометрия, Deskriptivní geometrie, Darstellende Geometrie, Παραστατική Γεωμετρία, Descriptive geometry, geometría descriptiva, géométrie descriptive, Beschrijvende meetkunde, Geometria wykreślna, Deskriptívna geometria, Gjeometria deskriptive, Нацртна геометрија, Нарисна геометрія, 画法几何, Geometria proiettiva, projektive Geometrie, 射影幾何学, projectieve meetkunde, Geometria rzutowa, Проективная геометрия, 射影几何Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comBlogger69125tag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-26735171803033371232012-01-04T16:28:00.000+01:002016-10-13T00:03:54.422+02:00PREFAZIONE - INTRODUCTIONNel voler implementare un sito web sulla geometria descrittiva, o un semplice blog, come questo, si fa uso prevalentemente di opere tratte dal web stesso e, inevitabilmente, ci si imbatte in circostanze e fatti storici specifici che hanno consentito, o nei quali sono inquadrati, i principali artefici della disciplina e le loro opere.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMmeqgp7I8MjbELbdKuK02T75iKjLtX_4dtZbgBNIfUeLxKGDxmqHSUC-GQowTvkNx85rG_5QJglGfRWC-U5PVlNFd3O7aSGu-puXsuBNEU__wNlrLidgFvM9g5awfNoP-HRA-hG9HyRg/s1600/Politica_Parlamento_Elezioni_Referendum.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="179" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMmeqgp7I8MjbELbdKuK02T75iKjLtX_4dtZbgBNIfUeLxKGDxmqHSUC-GQowTvkNx85rG_5QJglGfRWC-U5PVlNFd3O7aSGu-puXsuBNEU__wNlrLidgFvM9g5awfNoP-HRA-hG9HyRg/s320/Politica_Parlamento_Elezioni_Referendum.jpg" width="320" /></a>E' per questo motivo che il lettore troverà "allargamenti" della disciplina, talora ritenuti impropri, ma senza i quali la disciplina stessa sarebbe un'arida esposizione di sapere.<br />
Avendo avuto grande soddisfazione nel trovare certe fonti originarie, da sempre ripetute "a pappagallo" sui libri moderni, ho ritenuto di farne partecipe il lettore che potrà trovarne, in ordine sparso, <a href="http://descrittiva.blogspot.it/">qui</a>, <a href="http://descrittiva2.blogspot.it/">qui</a>, e <a href="http://descrttiva7.blogspot.it/">qui</a>.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWhDFbUPYtvMTkGkCFO7k8404inDVawlASG7dZdx-capfdtIVKNtcZkXAAJRGQa-uswB0l0FNmR92YCgfoWX-Ia_xyUu_mHTjMiv9CzXgj0pwM_dwDN9vq_-Q-5WNpurg2Pmj2Ulx3Vvo/s1600/Maggio+francese+1968.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWhDFbUPYtvMTkGkCFO7k8404inDVawlASG7dZdx-capfdtIVKNtcZkXAAJRGQa-uswB0l0FNmR92YCgfoWX-Ia_xyUu_mHTjMiv9CzXgj0pwM_dwDN9vq_-Q-5WNpurg2Pmj2Ulx3Vvo/s200/Maggio+francese+1968.jpg" width="121" /></a><span style="font-size: xx-small;"><br /></span>
Leggi le intenzioni, il <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/il-metodo-di-questo-blog.html">metodo</a> e il <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/programma-del-corso-biennale-di-e.html">programma</a> di questo blog sulla <b><a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/08/introduzione.html">geometria descrittiva</a></b>, e che cosa intendo per "<a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/quale-insegnamento-e-quale-scuola.html">scuola</a>", e cosa intendono altri (<a href="http://descrittiva.blogspot.com/2011/01/insegnamento-dinamico-oggi-come-90-anni_30.html">1</a>), (<a href="http://math.unipa.it/~grim/quad15_skleranikova_05.pdf">2</a>), (<a href="http://descrittiva.blogspot.it/2012/09/lezione-e-lectio-di-pavel-florenskij.html">3</a>), (<a href="http://descrittiva.blogspot.it/2014/01/socrate-e-la-maieutica.html">4</a>) anche sulla matematica (<a href="http://retro.seals.ch/digbib/en/view?rid=ensmat-001:1933:32::284&id=&id2=&id3=">3</a>). Vedi a cosa serve la geometria descrittiva (<a href="http://descrittiva.blogspot.it/2010/04/gaspard-monge-introduzione-alla.html">per gli studenti</a> e <a href="http://descrittiva.blogspot.it/2013/04/serve-qualcosa-oggi-la-geometria.html">per gli insegnanti</a>), e come organizzare <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/calendario-delle-lezioni.html">un corso biennale</a> utilizzando questo blog (per i docenti).<br />
Qualche nota ironica non guasta mai, specie nelle cose serie (<a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2008/07/geometria-descrittiva-la-forza-della.html">1</a>), (<a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2010/05/lora-della-verifica-e-giunta.html">2</a>), (<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsTZqpoOqqN_t4C-jgZDcZ6tpfQagBWEgVim3-pD6R2CSuUBBx86gm7rpkU93uHLvAmdqAz5bKhmjGG9HCWZ9wvBZ6cOzR68LAGLSKG8pIc96f5IK3MOyBYI0M2Fe09d2Wu8jnyhyISw/s1600-h/La_scienza.jpg">3</a>), e nelle divagazioni disciplinari (<a href="http://descrttiva7.blogspot.it/">1</a>), (<a href="http://descrittiva2.blogspot.it/2011/01/russel-razionalita-dio.html">2</a>), (<a href="http://descrittiva1.blogspot.it/p/giochi.html">3</a>). Naturalmente non tutti i post sono al completo, di alcuni c'è solo il titolo e qualche volta con rimandi ad opere ben più importanti reperibili in rete.<br />
Per praticare un tuo metodo di ricerca puoi cercare opere originali nella pagina <i><a href="http://descrittiva10.blogspot.it/p/links-index.html">Links</a>, </i>sottotitolo <i><a href="http://descrittiva10.blogspot.it/2012/03/links1.html">Biblioteche digitali</a>, dove</i> si possono trovare libri e riviste stampati dal '500 in poi e manoscritti in quasi tutte le lingue. Ricorda che in un blog i post più vecchi (cioè le prime lezioni) stanno sotto.<br />
Qui c'è un <a href="http://descrittiva0.blogspot.com/">INDICE GENERALE</a>, e qui puoi trovare della <a href="http://descrittiva6.blogspot.it/">MUSICA (play-lists)</a> per studiare con più concentrazione.<br />
Grazie a chi vorrà segnalare diverse vedute, oppure links non più funzionanti (e.mail - faubaio@gmail.com - oppure su <a href="http://www.facebook.com/fausto.baiocco">Facebook</a>, oppure cerca i miei telefoni sulla colonna di sinistra, sotto, in "Chi sono").<br />
<br />Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-26450731826144378772012-01-03T19:16:00.000+01:002016-03-04T07:39:09.150+01:00Last minute <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLNuhqPLL89NOKpIYSnThbRLp7d9HpNoPWCQMSm3rj8h237tbe55Z3WuzZqTP7gDZhkQqZIs0VghKLg-D4tfw9dQj1-6SGrs2HBqXVMbRnfxuu8uH4t7PCu5koLBXlvwRGmK-uD3yJLjQ/s1600/codice-appalti-pubblici.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="137" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLNuhqPLL89NOKpIYSnThbRLp7d9HpNoPWCQMSm3rj8h237tbe55Z3WuzZqTP7gDZhkQqZIs0VghKLg-D4tfw9dQj1-6SGrs2HBqXVMbRnfxuu8uH4t7PCu5koLBXlvwRGmK-uD3yJLjQ/s320/codice-appalti-pubblici.jpg" width="320" /></a></div>
<span style="color: red;">Nuovo Codice degli appalti pubblici</span> - Per ora si può esaminare il <a href="http://www.leggioggi.it/2016/03/03/nuovo-codice-degli-appalti-cdm-approva-le-modifiche-il-testo-aggiornato-tutte-le-novita-punto-per-punto/">testo del codice approvato dal governo</a> il 3 marzo 2016, ma la procedura sarà completa solo dopo il nuovo regolamento di attuazione. I tempi, come al solito, non saranno fulminei.<br />
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Ci seghiamo il ramo su cui siamo seduti !!!? <a href="http://descrittiva1.blogspot.it/p/curiosita.html">Forte, èh?</a> E per fortuna, che eravamo il "Sapiens-sapiens" !!!<span style="color: red;">Obsolescenza programmata </span>- La "<a href="http://descrittiva1.blogspot.it/p/curiosita.html">locomotiva</a>" del "libero" mercato (video YouTube).<br />
<span style="color: red;">Appalti </span>di 1) <a href="http://eur-lex.europa.eu/search.html?instInvStatus=ALL&DTN=0024&DTA=2014&qid=1397073251604&DTC=false&DTS_DOM=ALL&type=advanced&SUBDOM_INIT=ALL_ALL&DTS_SUBDOM=ALL_ALL">lavori, servizi, forniture</a>, 2) <a href="http://eur-lex.europa.eu/search.html?instInvStatus=ALL&DTN=0025&DTA=2014&qid=1397079230051&DTC=false&DTS_DOM=ALL&type=advanced&lang=it&SUBDOM_INIT=ALL_ALL&DTS_SUBDOM=ALL_ALL">enti erogatori, trasporti e poste</a>, 3) <a href="http://eur-lex.europa.eu/search.html?instInvStatus=ALL&DTN=0023&DTA=2014&qid=1397079083566&DTC=false&DTS_DOM=ALL&type=advanced&lang=it&SUBDOM_INIT=ALL_ALL&DTS_SUBDOM=ALL_ALL">concessioni</a>. Per quanti se ne interessano, informo che il 3 febbraio 2014 sono state pubblicate le 3 nuove Direttive appalti della Unione Europea, che dovranno essere recepite da disposizioni nazionali entro 2 anni. Per ora, in Italia, continua ad applicarsi la normativa del 2006, con i vari e numerosi aggiornamenti, ultimi quelli apportati con la <a href="http://legge%2021%20febbraio%202014%2C%20n.%209/">Legge 21 febbraio 2014, n. 9</a>, sia per il<a href="http://www.avcp.it/portal/public/classic/AttivitaAutorita/NormativeDiSettore/_sommarioCodice"> Codice degli Appalti Pubblici</a>, sia per il <a href="http://www.avcp.it/portal/public/classic/AttivitaAutorita/NormativeDiSettore/_RegolamentoCodiceContratti">Regolamento di Attuazione</a>. <span style="color: red;">Materiale aggiornatissimo</span> lo si può trovare <a href="http://www.codiceappalti.it/">qui</a>.<br />
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<span style="color: red;">La teoria della relatività</span> di Einstein pubblicata nel 1905 è stata ripresa da quella di Olinto De Pretto pubblicata nel 1904? Vedi il <a href="http://descrttiva7.blogspot.it/2014/03/einstein-de-pretto-hilbert.html">post</a>.<br />
<span style="color: red;">INFORMAZIONE</span> - <a href="http://www.youtube.com/watch?v=H6FDaS_eU2Y">Intervista a Beppe Grillo</a> sull'informazione televisiva italiana.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPAovlVX1bZ-Eo_uCGNKYFNBGju2GqDaFA8GUcgOrmfE48IyqvMaFqz98B39owIpR7xkTeKbkM-QoMF-1TiRMXA0L0jBLY1YZAA_KV1HX_d6g6M9Rcbi3suUCs836d-DLW1792MXwR5O4/s1600/Einstein+Renzi+Genio.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="135" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgPAovlVX1bZ-Eo_uCGNKYFNBGju2GqDaFA8GUcgOrmfE48IyqvMaFqz98B39owIpR7xkTeKbkM-QoMF-1TiRMXA0L0jBLY1YZAA_KV1HX_d6g6M9Rcbi3suUCs836d-DLW1792MXwR5O4/s1600/Einstein+Renzi+Genio.jpg" width="200" /></a><span style="color: red;">BARZELLETTA per buontemponi</span> - Un tale ad un altro: Solo gli imbecilli non hanno dubbi !!! - e l'altro: Ma sei proprio sicuro? - e il primo: Non ho alcun dubbio !!! (Chissà perché mi fa pensare a Matteo Renzi!!? In poche settimane ha già fatto il suo tempo). Fatemi <a href="http://nonciclopedia.wikia.com/wiki/Matteo_Renzi">ridere</a>!<br />
<br />
<span style="color: red;">x</span> <a href="http://descrittiva10.blogspot.it/p/links-index.html">BIBLIOTECHE DIGITALI</a>, aggiornato (01-07-2014).<br />
<span style="color: red;">x</span> I<a href="https://skydrive.live.com/?cid=5DC47E00D27DA5D8&id=5DC47E00D27DA5D8%21105"> miei libri omaggio</a>.<br />
<span style="color: red;">x </span>I libri di geometria proiettiva e descrittiva <a href="http://descrittiva1.blogspot.it/2012/12/i-libri-prima-di-monge-e-poncelet.html">prima di Monge e Poncelet</a>.<br />
<span style="color: red;">x</span> I libri di geometria proiettiva e descrittiva <a href="http://descrittiva1.blogspot.it/2010/12/libri.html">dopo Monge e Poncelet</a> (91 titoli al 21-9-2013).<br />
<span style="color: red;">x</span> PENSIERI SCIOLTI - 4) <a href="http://pinterest.com/gallicabnf/affiches-mai-68-may-68-posters/">1968</a>, Sois jeune et tais toi = Sii giovane e taci - 2012: <a href="http://cryptome.org/protest-series.htm">Protest</a>, <a href="http://cryptome.org/info/greece-protest/greece-protest.htm">Athens</a>, Rome, Madrid, Paris, Berlin, <a href="http://totallycoolpix.com/2010/12/violent-student-protests-in-london/">London</a>, <a href="http://www.theatlantic.com/infocus/2011/11/occupy-wall-street-7-weeks-in/100183/">All city</a>, <a href="http://thaiphong.wordpress.com/2012/05/03/may-day-around-the-world/">All site</a>.<br />
<span style="color: red;">x</span> <a href="http://descrittiva.blogspot.it/2013/04/serve-qualcosa-oggi-la-geometria.html">Serve a qualcosa, oggi, la Geometria Descrittiva?</a> Vedi anche le osservazioni a uno scritto di Riccardo Migliari.<br />
<span style="color: red;">x</span> Vedi questa analisi dell'economia della crisi (o della crisi dell'economia) degli ultimi 5-6 anni <a href="http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=AsoYXIDVQQw&NR=1">da YouTube</a>.<br />
<br />
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/ChCp6xuaFiA?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe><br />
<br />
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</div>
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<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Ynpixp0YjIg?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-69377289928589246282012-01-03T15:00:00.000+01:002012-12-10T23:30:08.215+01:00Sulle opere di Federigo Enriques<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a href="http://descrittiva1.blogspot.it/2012/11/i-segreti-di-pulcinella.html">I segreti di Pulcinella sulle opere di Federigo Enriques</a><br />
<a href="http://descrittiva1.blogspot.it/2012/01/importante.html">Sganciamento di links a catena per le opere di Federigo Enriques</a>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-19414913687547456402012-01-03T12:00:00.000+01:002013-09-04T14:10:55.429+02:00Raccolta di immagini di copertina<br />
Pazienza! Ora sono <a href="http://descrittiva5.blogspot.it/2013/09/raccolta-di-immagini-di-copertina-utili.html">qui</a>.<br />
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</div>
Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-15529138595401758382004-05-01T01:27:00.000+02:002016-06-08T11:22:44.603+02:00Le proiezioni curvilinee 1: elementi di riferimento e modo di proiettare<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-GIx7XCi7-qWajOH7q5XmQttvISf0KfCs61ksHhqTK-VD1IHegKez1oFSGEfU3yg4Zixqy5VwsfYKboQzt5Qcrj-_TpXAWIqOkiP66SZ3KxuuSP8LJyPBo67gvUKP5s2uHmAycp8_m2c/s1600/Proiezioni+sferiche+Barre+Flocon+Perspective+Curviligne.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="160" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-GIx7XCi7-qWajOH7q5XmQttvISf0KfCs61ksHhqTK-VD1IHegKez1oFSGEfU3yg4Zixqy5VwsfYKboQzt5Qcrj-_TpXAWIqOkiP66SZ3KxuuSP8LJyPBo67gvUKP5s2uHmAycp8_m2c/s320/Proiezioni+sferiche+Barre+Flocon+Perspective+Curviligne.gif" width="320" /></a></div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnnmAmG-BrDfyXYxgOQAYKqlV3A6BI2IqPBMOVREwHXbNfS7QwCoIUHZqSjQSIxYWun4w2WPyw3tqUy9_GjvHnacSDx1F1c-dkQZJLrxqqvsudYl4u2n5jNV7DUJGYtIIR4m821KTwdhE/s1600/A+color.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnnmAmG-BrDfyXYxgOQAYKqlV3A6BI2IqPBMOVREwHXbNfS7QwCoIUHZqSjQSIxYWun4w2WPyw3tqUy9_GjvHnacSDx1F1c-dkQZJLrxqqvsudYl4u2n5jNV7DUJGYtIIR4m821KTwdhE/s1600/A+color.jpg" /></a>Per ora puoi vedere l'argomento inserendo le parole "<i>la perspective curviligne</i>" nel tuo browser.<br />
L'argomento verrà sviluppato con l'aiuto del libro <a href="http://openlibrary.org/works/OL11036664W/La_perspective_curviligne">André Barre et Albert Flocon, <i>La Perspective Curviligne</i>, Flammarion Ed., Paris 1968</a>.<br />
<br />
Precursore del metodo di rappresentazione mediante la "<i>visione per angoli</i>" sembra essere stato Johann Heinrich Lambert con <i><a href="http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-4092">La perspective affranchie de l'embaras du plan géometral</a></i> del 1759.<br />
L'argomento è presente con nozioni e concetti geometrici e culturali anche in:<br />
1 - Gawin Herdman W., <i><a href="http://books.google.it/books?id=uycDAAAAQAAJ&hl=it&source=gbs_similarbooks">A treatise on the curvilinear perspective of nature and its applicability to art</a></i>, Ed. John Weale & Co., London 1853, pp. 118 + 25 Tavole incomplete, (google-book).<br />
2 - Davies Charles,<i> <a href="http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=miun.acv5091.0001.001;seq=1;view=1up">Elements of descriptive geometry</a>, with their application to spherical trigonometry, spherical projections and warped surfaces</i>, Ed. A. S. Barnes & C., New York 1870 (1^ ed. 1835), pp. 174 + Tavole, (hathy-trust).<br />
3 - Oscar S. Adams (Department of Commerce, U.S. Coast and Geodetic Survey), <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABX0819.0001.001?view=toc">General theory of policonic projections</a>, pp. 174, Ed. Government Printing Office, Washington 1919, (uni-michigan).<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjH4fTwUDOhD6xiJaQb3Hs0GxEQoGSrEwdx8xB4CxkZBZxJlkq7RBzyKzIffNKDBp1RCqPjMg9dZHv_4xiuAq7NIqgMr_WsbNojH_NyrkHONPgV_Jf6jQo92VzUnv9ySmqJHgBZn-mm_A/s1600/Jean+Fouquet,+Entr%C3%A9e+de+l'empereur+Charles+IV+%C3%A0+Saint-Denis,+Grandes+Chroniques+de+France+-+La+Perspective+Curviligne..jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjH4fTwUDOhD6xiJaQb3Hs0GxEQoGSrEwdx8xB4CxkZBZxJlkq7RBzyKzIffNKDBp1RCqPjMg9dZHv_4xiuAq7NIqgMr_WsbNojH_NyrkHONPgV_Jf6jQo92VzUnv9ySmqJHgBZn-mm_A/s200/Jean+Fouquet,+Entr%C3%A9e+de+l'empereur+Charles+IV+%C3%A0+Saint-Denis,+Grandes+Chroniques+de+France+-+La+Perspective+Curviligne..jpg" width="170" /></a>Alcuni siti web sono interessanti per avere un'idea sull'argomento, specialmente sulle sue origini storiche e sugli studi nel dopoguerra:<br />
Riccardo Migliari, <a href="http://www.migliari.it/pdf_saggi/Prospettiva_Panofsky_lr_it.pdf">La prospettiva e Panofsky</a>, pdf.<br />
Università Tecnica Nazionale di Atene, <a href="http://www.ntua.gr/arch/geometry/mbk/histor.htm">Dr. A.M. Kourniati</a>.<br />
Wikipedia France, <a href="http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_curviligne">Perspective Curviligne</a>.<br />
Wikiversité France, <a href="http://fr.wikiversity.org/wiki/Dessin_en_perspective/Perspective_curviligne">Dessin en perspective/Perspective Curviligne</a>.<br />
Dominique Raynaud, <a href="http://hal.inria.fr/docs/00/04/93/34/PDF/Perspective_binoculaire-STP.pdf">Perspective curviligne et vision binoculaire</a>, pdf.<br />
Scaraba.net, <a href="http://www.scaraba.net/creanum/curviligne/373-la-perspective-curviligne-de-jean-fouquet">La perspective curviligne de Jean Fouquet</a>.<br />
Blog di Axel Egolf, Paris, <a href="http://www.acadesign.net/campus/index.php?showtopic=238">Perspective rectiligne et curviligne</a>.<br />
<a href="http://www.ba.infn.it/~fisi2005/evangelista/deluca/indice.html">La fisica dell'occhio</a>, <a href="http://www.ba.infn.it/~fisi2005/evangelista/deluca/tesi.html">Tesi di laurea</a> di Giuseppe Corrado De Luca, 2001, <a href="http://www.ba.infn.it/">INFN</a> (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare).<br />
<a href="http://macosa.dima.unige.it/mat/arte/prova.htm">Il ruolo della prospettiva nelle arti pittoriche</a>, <a href="http://macosa.dima.unige.it/mat/arte/mappa.htm">Mappa</a> - di Ludovica Gandolfo.<br />
<a href="http://www.binoculare.altervista.org/html/sferica_.html">La prospettiva sferica</a> - di Antonino Venezia, Niscemi (Caltanisetta), Italia.<br />
<a href="http://www.mat.uniroma2.it/mep/Articoli/Ottica/Angoli.htm">Euclide e la visione per angoli</a> - di Laura Catastini.<br />
<a href="http://www.fisica.unige.it/~tuccio/SSIS/occhiocervello.htm">Ottica e visione nell'uomo e negli animali</a> - Relazioni e progetti didattici della Scuola di specializzazione all'insegnamento secondario (SSIS) della <a href="http://www.unige.it/">Università di Genova</a> (a cura di Maria Teresa Tuccio).<br />
<a href="http://numix.sabix.org/ice/ice_book_detail.php?lang=fr&type=img&bdd=numix&table=numix&bookId=7&typeofbookId=4&num=0&mt=M%C3%A9moire%20sur%20quelques%20ph%C3%A9nom%C3%A8nes%20de%20la%20vision">Memoire sur quelques phénomènes de la vision</a>, 1789, Manoscritto originale di <a href="http://descrittiva3.blogspot.it/2008/06/bo.html">Gaspard Monge</a> (1746-1818).<br />
<br />
<span style="color: red;">NEW</span> - Infine, ma non per ultimo, tra tanti studiosi stranieri segnalo due italiani, e cioè <a href="https://marcomasettiprospettico.wordpress.com/about/">Marco Masetti</a> e <a href="http://massimo-marrazzo.deviantart.com/">Massimo Marrazzo</a>, a memoria che la prospettiva è "essenzialmente" italiana, come dicevano i prospettivisti stranieri del XVI e XVII secolo.<br />
Di Masetti vedi le innumerevoli applicazioni della geometria analitica alla prospettiva curvilinea, come nei suoi libri: <a href="https://marcomasettiprospettico.files.wordpress.com/2011/09/programmazione_gdl_ebook.pdf">"Programmazione GDL e geometria analitica"</a> del 2015 e <a href="http://www.booksuniversity.it/scheda-ebook/marco-masetti/la-prospettiva-e-la-costruzione-dello-spazio-figurativo-9788891154750-230272.html">"La prospettiva e la costruzione dello spazio figurativo"</a> del 2014, oltre al <a href="https://marcomasettiprospettico.files.wordpress.com/2014/04/la-prospettiva.pdf">"Formulario per la costruzione di prospettive digitali"</a> e il <a href="https://marcomasettiprospettico.wordpress.com/">suo blog</a>.<br />
Di Marrazzo, sempre in tema di prospettiva curvilinea, vedi, oltre al <a href="http://www.biodomotica.com/perspective.htm">suo sito web</a>, anche il suo libro <a href="https://issuu.com/massimomarrazzo/docs/estratto_prospettiva_da_0_a_6_punti">"Prospettiva ZeroSei, Manuale di prospettiva lineare e curvilinea"</a> del 2015, nonché la <a href="https://it.pinterest.com/max_marrazzo/">sua pagina su Pinterest</a> e il <a href="http://prospettivazerosei.blogspot.it/">suo blog</a>.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtL7rRt2KfcRoynCTYPcyN_PEOM6ROvUBLJYltq2RGybtqCWRe-7VLOh81ozd7MS7NlvnoxodbWbiPYooC9VM_WKNHowr8nN6yEHQTfAHnxAJZVzoyzZQoTGW8X3JUGnsx4IZlN4IbEUo/s1600/Curvi+Prospettografo+Postel+Baiocco+min.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtL7rRt2KfcRoynCTYPcyN_PEOM6ROvUBLJYltq2RGybtqCWRe-7VLOh81ozd7MS7NlvnoxodbWbiPYooC9VM_WKNHowr8nN6yEHQTfAHnxAJZVzoyzZQoTGW8X3JUGnsx4IZlN4IbEUo/s320/Curvi+Prospettografo+Postel+Baiocco+min.jpg" width="320" /></a><br />
N.B. - Se qualche matematico volesse aiutarmi, pongo la domanda della trasformazione di Postel con cui <a href="http://descrittiva7.blogspot.it/2012/06/trasformata-di-postel.html">spianare una sfera su un piano</a> (magari mandandomi un link in faubaio@gmail.com).<br />
Vi sono due contributi analitici (al link precedente).<br />
Vedi anche l'esercitazione di <a href="http://journalpiper.blogspot.it/2013/06/prospettiva-curvilinea-frontale.html">Prospettiva curvilinea frontale</a>, del 15 maggio 2013.<br />
Vedi anche una <a href="http://journalpiper.blogspot.it/2013/04/proiezioni-curvilinee-su-sfera-verifica.html">prima verifica empirica</a> di proiezione su una sfera.<br />
__________________________________<br />
<span style="font-size: xx-small;"><br /></span>
<span style="font-size: x-small;">Figura 1 (in alto) - Nella prima metà è rappresentato il disegno dell'immagine di una semisfera con la proiezione di rette orizzontali e verticali; 2) nella seconda metà il disegno è stato sovrapposto ad una figura tratta dal libro di André Barre e Albert Flocon. </span><br />
<span style="font-size: x-small;">Si vede la perfetta corrispondenza delle linee del disegno della semisfera con la figura di tali autori. Rispetto all'asse ottico principale la figura di André Barre e Albert Flocon si estende sull'asse orizzontale di 50° a sinistra e 65° a destra, mentre sull'asse verticale si estende di 50° sopra e 72° sotto. Gli angoli superiori della figura arrivano a rappresentare una ampiezza angolare di 65° a sinistra e 80° a destra, mentre nella parte inferiore l'ampiezza angolare è di 85° a sinistra e a destra è ben oltre 90° poiché esce dal cerchio che rappresenta l'infinito dalla parte anteriore e si estende - diciamo così - verso la regione di spazio che si trova alle spalle dell'osservatore, cioè dietro di esso. Questa estensione nello spazio dietro l'osservatore, apparentemente impossibile qualora si parli di "visione prospettica", è del tutto giustificabile qualora si parli di "proiezione" nell'ambito di un metodo di rappresentazione.</span><br />
<span style="font-size: x-small;">Nei successivi post, dopo aver trattato la teoria proiettiva di questo metodo di rappresentazione e la successiva rappresentazione sul piano, ci si potrà rendere conto della correttezza del metodo e si potrà avere il completo apprezzamento delle costruzioni grafiche, nonché verificare l'efficacia dei risultati dal punto di vista visivo.</span><br />
<span style="font-size: xx-small;"><br /></span>
<span style="font-size: x-small;">Figura 2 (al centro) - Verifica della curvilinearità della prospettiva su una immagine di Jean Fouquet, <i>Entrée de l'empereur Charles IV à Saint-Denis</i> (<a href="http://saint-romans.forumactif.biz/t13-livre-chroniques-de-france">Grandes Chroniques de France</a>, Paris, BnF, départment des Manuscrits, Francais 6465, fol. 442, Livre de Charles V). </span><br />
<span style="font-size: x-small;">La verifica è stata eseguita </span><span style="font-size: x-small;">mediante il Prospettografo curvilineo, qui sopra (proiezione su una semi-sfera, trasformata equatoriale, e srotolamento sul piano del disegno senza variare la lunghezza dei meridiani).</span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-63341873558707046812004-03-02T00:00:00.002+01:002014-04-03T01:54:17.434+02:00Le proiezioni quotate 1: elementi di riferimento e modo di proiettare<a href="http://web.archive.org/web/20070711123657im_/http://mouv4x8.club.fr/11Sept01/John_has_not_finished_working_on_this_page.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://web.archive.org/web/20070711123657im_/http://mouv4x8.club.fr/11Sept01/John_has_not_finished_working_on_this_page.gif" /></a>Per ora vedi le <a href="http://descrittiva.blogspot.com/2010/04/gaspard-monge-introduzione-alla.html">finalità della geometria descrittiva</a> e la relativa pagina in questo <a href="http://dau.ing.univaq.it/disegno2/4.html">sito web</a>.<br />
_____________________________<br />
Vedi: <a href="https://skydrive.live.com/?cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21105#cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21110">Enriques, Lezioni di g.descrittiva, p. 141</a>.Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-80004772172661661172004-01-01T00:00:00.007+01:002012-08-01T19:06:07.320+02:00Le proiezioni assonometriche 1: elementi di riferimento e modo di proiettarePer ora vedi le <a href="http://descrittiva.blogspot.com/2010/04/gaspard-monge-introduzione-alla.html">finalità della geometria descrittiva</a>.<br />
________________________________<br />
Vedi in Enriques, <a href="https://skydrive.live.com/?cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21105#cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21110">Lezioni di g.d., pag. 115</a>.<br />
__________________________________<br />
<span style="font-size: 85%;">Vedi anche: Enriques Federigo, <span style="font-style: italic;">Lezioni di geometria descrittiva</span>, Zanichelli, 1920, <a href="https://skydrive.live.com/?cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21104#cid=B775052FE80E8A09&id=B775052FE80E8A09%21105">pag. 49</a>, relativa al passaggio proiettivo dalla proiezione centrale a quella parallela, in merito al metodo delle proiezioni ortogonali e al metodo dell'assonometria, sia ortogonale che obliqua.</span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-92115599569809586172003-12-03T00:00:00.021+01:002014-02-25T19:21:22.251+01:00Le proiezioni ortogonali 10: applicazioni<a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/programma-del-corso-biennale-di-e.html">Quadro generale</a> di riferimento delle applicazioni<br />
Le applicazioni verranno illustrate prossimamente. Qui se ne citano solo i titoli:<br />
- <a href="http://www.mauriziogalluzzo.it/wp-content/uploads/2011/10/Lez-02_normativa-e-principi-generali_intro_PO.pdf">Redazione</a> del disegno e norme UNI.<br />
- Rappresentazione dei poliedri generici e dei solidi platonici (vedi: Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag.<a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1"> 91 e 94</a>)<br />
- Rappresentazione delle superfici coniche (vedi: <a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag. 184</a>)<br />
- Sviluppo dei solidi e superfici sviluppabili, e costruzione di modelli in cartoncino (<a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, p. 191 e 205</a>)<br />
- Rappresentazione delle superfici quadriche rigate (vedi: <a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques. <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag. 235, 252, 268, 307</a><a href="http://http//quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV4849.0001.001;didno=ACV4849.0001.001;view=pdf;seq=00000324"></a>)<br />
- Eliche ed elicoidi (vedi: <a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag. 339</a>)<br />
- Superfici di rotazione (vedi: <a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag. 325</a>)<br />
- Teoria delle ombre (Enriques, <i>Lezioni di g.d.., pag. ...</i>)<br />
- Costruzione dell'orologio solare (vedi: <a href="https://onedrive.live.com/view.aspx?cid=B775052FE80E8A09&resid=B775052FE80E8A09%21110&app=WordPdf&wdo=1">Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, pag. 82</a>)<br />
- Stereotomia (taglio di pietre e legnami per la <a href="http://pietrasupietra.blogspot.com/">costruzione di archi e volte</a>)<br />
<br />Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-46359300217899757372003-12-02T00:00:00.092+01:002014-02-25T16:57:42.216+01:00Le proiezioni ortogonali 9: esercitazioniAlcuni dei problemi sottoelencati verranno sviluppati progressivamente.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Problemi di appartenenza</span><br />
01-PO-APP-PF - Retta passante per due punti<br />
02-PO-APP-PF - Retta comune a due piani<br />
03-PO-APP-PF - Punto comune a due rette (complanari)<br />
04-PO-APP-PF - Piano comune a due rette (incidenti)<br />
05-PO-APP-PF - Piano passante per una retta e per un punto<br />
06-PO-APP-PF - Punto di intersezione di una retta con un piano<br />
07-PO-APP-PC - Piano comune a tre punti (non allineati)<br />
08-PO-APP-PC - Punto comune a tre piani (a due a due non paralleli)<br />
09-PO-APP-PC - Retta che passa per un punto e si appoggia a due rette sghembe<br />
10-PO-APP-PC - Retta che si appoggia a tre rette sghembe<br />
<span style="color: #cccccc; font-size: 78%;">.</span><br />
<span style="font-weight: bold;">Problemi di parallelismo</span><br />
11-PO-PAR-PF - Retta passante per un punto e parallela ad una retta data<br />
12-PO-PAR-PF - Piano passante per un punto e parallelo ad un piano dato<br />
13-PO-PAR-PF - Piano passante per una retta e parallelo ad una retta data<br />
14-PO-PAR-PC - Piano passante per un punto e parallelo a due rette sghembe date<br />
15-PO-PAR-PC - Retta che si appoggia a due rette date ed è parallela ad una terza retta data<br />
16-PO-PAR-PC - Retta che passa per un punto, si appoggia ad una retta data ed è parallela ad un piano<br />
17-PO-PAR-PC - Retta che passa per un punto ed è parallela a due piani dati (i due piani non paralleli)<br />
<span style="color: #cccccc; font-size: 78%;">.</span><br />
<span style="font-weight: bold;">Problemi di perpendicolarità</span><br />
18-PO-PER-PF - Retta che passa per un punto ed è perpendicolare ad un piano<br />
19-PO-PER-PF - Piano che passa per un punto ed è perpendicolare ad una retta data<br />
20-PO-PER-PF - Piano che passa per una retta ed è perpendicolare ad un piano dato<br />
21-PO-PER-PF - Retta che passa per un punto ed è perpendicolare ad una retta data<br />
22-PO-PER-PC - Retta perpendicolare a due rette sghembe<br />
<span style="color: #cccccc; font-size: 78%;">.</span><br />
<span style="font-weight: bold;">Problemi di misura</span><br />
<a href="http://descrittiva4.blogspot.com/2010/12/pr-ort.html">23-PO-MIS-PF</a> - Misurare la distanza tra due punti<br />
24-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due piani paralleli<br />
25-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette parallele<br />
26-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e una retta<br />
27-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e un piano<br />
28-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due rette (incidenti)<br />
29-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due piani<br />
30-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra una retta e un piano<br />
31-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette sghembe<br />
32-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra un punto e un piano<br />
33-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra una retta e un piano di proiezione<br />
34-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra un piano generico e un piano di proiezione<br />
<span style="color: #cccccc; font-size: 78%;">.</span><br />
<span style="font-weight: bold;">Altri problemi</span><br />
35-PO-ALT - Costruire un piano passante per una retta e tangente ad una sfera<br />
36-PO-ALT - Costruire un piano passante per un punto e tangente ad un cilindro<br />
37-PO-ALT - Individuare il punto di intersezione tra una retta e una sfera<br />
38-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e parallelo ad una retta e tangente ad una sfera<br />
39-PO-ALT - Individuare un piano parallelo ad una retta e tangente ad un cilindro<br />
40-PO-ALT - Individuare un piano parallelo a due rette sghembe date e tangente a una sfera<br />
41-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e parallela ad un piano e con angolo di x° rispetto ad un piano di proiezione<br />
42-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e parallela ad un piano e con angolo di x° rispetto alla linea di terra<br />
43-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad una retta generica<br />
44-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e incidente una retta data e con angolo di x° rispetto ad un’altra retta<br />
45-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da tre punti dati (centro del cerchio)<br />
46-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da tre piani dati<br />
47-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da quattro punti dati (centro della sfera)<br />
48-PO-ALT - Individuare un punto equidistante da quattro piani dati (centro della sfera)<br />
49-PO-ALT - Individuare un piano perpendicolare ad una retta ed equidistante da due punti dati<br />
50-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto di un piano e con angolo di x° con uno dei piani di proiezione<br />
51-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta data e con angolo di x° rispetto ad un piano dato<br />
52-PO-ALT - Individuare una retta passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad un’altra retta<br />
53-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e con angolo di x° rispetto ad uno dei piani di proiezione<br />
54-PO-ALT - Individuare un piano passante per una retta e formante uguale angolo di x° rispetto ad entrambi i piani di proiezione<br />
55-PO-ALT - Individuare un piano passante per un punto e formante uguale angoli di x° rispetto a tre rette sghembe date<br />
56-PO-ALT - Individuare una sfera passante per tre punti e tangente ad un piano<br />
57-PO-ALT - Individuare la retta che si appoggia a quattro rette generiche date.<br />
_______________________________________________________________<br />
<span style="font-size: 85%;"><span style="font-size: 100%;"><span style="font-weight: bold;">Nota 1</span></span> - La sigla che precede il titolo del problema ha il seguente significato: a) il numero iniziale indica il numero progressivo del problema; b) le due lettere successive indicano il metodo di rappresentazione (qui, PO 0 Proiezioni ortogonali) c) le tre lettere successive indicano l'argomento del problema; d) l'ultimo gruppo di due lettere indica se il problema è un problema fondamentale (PF), cioè risolvibile con la sola conoscenza delle condizioni fondamentali dell'argomento trattato (più, ovviamente, le condizioni fondamentali degli argomenti precedenti), oppure se è un problema complementare (PC), cioè risolvibile facendo ricorso anche alle procedure dei problemi fondamentali.<br />________________________________________________________________<br /><span style="font-size: 100%;"><span style="font-weight: bold;">Nota 2</span></span> - I problemi proposti sopra sono stati tratti da testi di geometria descrittiva, alcuni in uso presso le facoltà di architettura ed ingegneria, altri in uso presso le facoltà di matematica, e sono elencati in due gruppi. Segue un elenco di testi in uso presso le scuole medie superiori, nonchè un elenco di testi "classici" italiani reperibili nelle biblioteche digitali sul web.<br /><span style="font-weight: bold;">TESTI IN USO PRESSO LE FACOLTA' DI ARCHITETTURA E DI INGENGERIA <span style="color: #cccccc; font-size: 180%;">.</span></span><br />- ANONIMO, 1972, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Testo di geometria descrittiva e proiettiva</span> (ciclostilato), LEF Editrice Firenze.<br />- BOMPIANI E. e LONGO C., 1962, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva, lezioni ed esercizi per gli allievi di architettura</span>, III edizione, Libreria Eredi Virgilio Veschi Roma.<br />- CHISINI O. e MASOTTI BIGGIOGERO G., 1973, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Esercizi di geometria descrittiva</span>, Tamburini Editore Milano.<br />- CHISINI O. e MASOTTI BIGGIOGERO G., 1992, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Lezioni di geometria descrittiva</span>, VII edizione, Masson Editore Milano.<br />- DOCCI M. e MIGLIARI R., 1992, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Scienza della rappresentazione: fondamenti e applicazioni della geometria descrittiva</span>, La Nuova Italia Scientifica Roma.<br />- MIRRI Franco, 1992, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">La rappresentazione tecnica e progettuale: manuale di disegno per ingeneri e architetti</span>, La Nuova Italia Scientifica Roma.<br />- NASINI Lamberto, 1990, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva per la rappresentazione architettonica</span>, Edizioni Kappa Roma.<br />- SACCARDI Ugo, 1977, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Applicazioni della geometria descrittiva</span>, IV edizione, LEF Editrice Firenze.<br /><span style="font-weight: bold;">TESTI IN USO PRESSO LE FACOLTA' DI MATEMATICA <span style="color: #cccccc; font-size: 180%;">.</span></span><br />- ASCHIERI Ferdinando, 1897, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva</span>, II edizione, Hoepli Editore Milano.<br />- BALDASSARRI Mario, 1967, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Guida allo studio della Geometria analitica e proiettiva, Sunti ed esercizi</span>, Volume 2, Cap. 5, CEDAM Editore Padova.<br />- CAMPEDELLI Luigi, 1972, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Lezioni di geometria, Vol. 2, Parte I: I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva</span>, IV edizione, CEDAM Editore Padova.<br />- LORIA Gino, 1912, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Poliedri Curve sghembe Superficie secondo i metodi della geometria descrittiva</span>, Hoepli Editore Milano.<br />- MORIN Ugo, 1964, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Lezioni di geometria, Parte IV: Geometria descrittiva Curve sghembe e superficie</span>, II edizione, CEDAM Editore Padova.<br /><span style="font-weight: bold;">TESTI IN USO PRESSO LE SCUOLE MEDIE SUPERIORI <span style="color: #cccccc; font-size: 180%;">.</span></span><br />- AVIGNANT J. e DERIQUEHEM B., 1981, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometrie descriptive</span>, Dunod Editions Paris.<br />- BONACCI Gi., 1991, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Capire la geometria descrittiva</span>, Lucarini Editore Roma.<br />- BONFIGLI C. e BRAGGIO C.R., 1987, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva e prospettiva</span>, Hoepli Editore Milano.<br />- De SIMONI Luigi, 1972-76, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Vol. 1: Geometria e realtà</span> IV ediz. 1972, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Vol. 2: Terza dimensione</span> III ediz. 1973, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Vol. 3: Spazio prospettico</span> II ediz. 1976, Bonacci Editore Roma.<br />- DOCCI Mario, 1987, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Teoria e pratica del disegno</span>, Laterza Editori Roma Bari.<br />- NANNONI Dante, 1978-81, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Il mondo delle proiezioni</span>, 3 voll., Cappelli Editore Bologna.<br />- VAGNETTI Fausto, 1972, <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Elementi di scienza del disegno</span>, 2 voll. con tavole separate, Edizioni Mediterranee Roma.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">TESTI CLASSICI </span><br />- ENRIQUES Federigo, 1920, <a href="http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACV4849.0001.001"><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Lezioni di Geometria descrittiva</span></a>, Zanichelli Editore, Bologna, (1^ ed. 1893).<br />- BURALI-FORTI Cesare, 1921, <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACM8699.0001.001/1?rgn=full+text;view=pdf;q1=burali-fortihttp://" style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva, Vol. 1, Assonometria</a>, Lattes Editori, Torino.<br />- BURALI-FORTI Cesare, 1922, <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACM8699.0002.001/1?rgn=full+text;view=pdf;q1=burali-forti"><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Geometria descrittiva, Vol. 2, Proiezione quotata, Proiezione Monge, Prospettiva</span></a>, Lattes Editori, Torino.<br />- BROGGI Corrado, senza data, <a href="http://spazioinwind.libero.it/corradobrogi/IV/IV-001.htm"><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Elementi di Geometria descrittiva, Proiezioni di Monge</span></a>, Manoscritto.</span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-25340100601274995612003-12-01T00:00:00.009+01:002011-05-21T23:52:08.065+02:00Le proiezioni ortogonali 8: impiego dell'omologia<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXAqNxmj90TOX7Y2oGBp6tyImr-4JgB5o6NrgUuX-5gdige7D0rvXLim1boOd3lv0_bkpCi0788Kz8OHyNmFvJERhHOtn5DkYmjKTrbAXedD_F-wTgjJr2gynwYznpzYjg8hThlaNXKQM/s1600/PO10.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 196px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXAqNxmj90TOX7Y2oGBp6tyImr-4JgB5o6NrgUuX-5gdige7D0rvXLim1boOd3lv0_bkpCi0788Kz8OHyNmFvJERhHOtn5DkYmjKTrbAXedD_F-wTgjJr2gynwYznpzYjg8hThlaNXKQM/s400/PO10.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547269472000971026" border="0" /></a><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVymtsCYp4JxkUvC8ggJgOyoxdUMwb1co6ZNwbwuety2bT9Ky2qzd7WnMwudshVwAY2fxu-CS3L78A3bdDuVDvaRiDANLF6P4tVUtsFgEHUls6cqq0vydqG5kRBV4lflYX6HzQaLgzO04/s1600/PO11.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 195px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVymtsCYp4JxkUvC8ggJgOyoxdUMwb1co6ZNwbwuety2bT9Ky2qzd7WnMwudshVwAY2fxu-CS3L78A3bdDuVDvaRiDANLF6P4tVUtsFgEHUls6cqq0vydqG5kRBV4lflYX6HzQaLgzO04/s400/PO11.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547269467361551938" border="0" /></a><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIt2FxDdlo4vMscKHz41EMv6__J_DsFHvK9ig4QmlowbrwOenlb1uQkeliRrPu_HZWVsxN8XnW_VcEa67SJsmIEXRhK0Gn2gUxCw4oohrod-iip6ahyphenhyphen4sxcMw-DczGtGySjV1lZQ-Az9w/s1600/PO12.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 390px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIt2FxDdlo4vMscKHz41EMv6__J_DsFHvK9ig4QmlowbrwOenlb1uQkeliRrPu_HZWVsxN8XnW_VcEa67SJsmIEXRhK0Gn2gUxCw4oohrod-iip6ahyphenhyphen4sxcMw-DczGtGySjV1lZQ-Az9w/s400/PO12.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547269462385935794" border="0" /></a><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjafTw0ouo5WvAnsRbb0VL4GQWKbGiqp2bYqgE_oUiz2JJZoIvvgUrBeaEH6mAWgwnBd7QAeFsjhUtrWscUF0g6QH1_L8De37Gq9r3E5Nee54J4u6dWCCSTNobKbt_bmOUO4iuOPs4-zfc/s1600/PO13.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 390px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjafTw0ouo5WvAnsRbb0VL4GQWKbGiqp2bYqgE_oUiz2JJZoIvvgUrBeaEH6mAWgwnBd7QAeFsjhUtrWscUF0g6QH1_L8De37Gq9r3E5Nee54J4u6dWCCSTNobKbt_bmOUO4iuOPs4-zfc/s400/PO13.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547269457009058882" border="0" /></a><br />________________<br />Per l'omologia tra 1^ e 2^ immagine delle rette di un piano vedi il teorema in: Enriques Federigo, <span style="font-style: italic;">Lezioni di geometria descrittiva</span>, <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACV4849.0001.001/74?rgn=full+text;view=pdf">pag. 57</a>.<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6Il2c0D8lEVP3V_wmpJDSBuFK7lvBa3QdupcE2uBPo_VZiqFFX2v3mXq4csaAK-7Pfjsbdcz5SRiv5_UsvtGXTtKkDAMQfIdNYCwWltwtiTMsn8diRCiXwx_SnE6ljYjMCqFp4WMd8Wg/s1600/PO11.jpg"><br /></a>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-53403612458788536152003-11-02T00:00:00.012+01:002010-12-17T20:51:58.922+01:00Le proiezioni ortogonali 7: cambiamento del piano di proiezione<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMsfNox4SgjZyy0gW4hHV-EHrvF-U66BJdr6TmPle62BcRDodik6wxRy7ZScAMzndZIWbNKwEXS_s-ZljMNyHNPB0aLMy598EhZNW4MQAe5fsZ3SwKHkU7hLousag44d3s2BEGy7L1fjM/s1600/Nuova_proiezion.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 352px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMsfNox4SgjZyy0gW4hHV-EHrvF-U66BJdr6TmPle62BcRDodik6wxRy7ZScAMzndZIWbNKwEXS_s-ZljMNyHNPB0aLMy598EhZNW4MQAe5fsZ3SwKHkU7hLousag44d3s2BEGy7L1fjM/s400/Nuova_proiezion.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5550574960909902770" border="0" /></a>Nella esecuzione di disegni di oggetti può accadere che talune rappresentazioni non illustrino bene qualche particolarità di quell'oggetto che vorremmo poter vedere meglio, magari da un'angolazione diversa, oppure che una vista diversa potrebbe meglio chiarire alcune ambiguità della rappresentazione come, ad esempio, la nuova proiezione (in alto a destra) dell'esempio riportato nella figura nella quale le sole due immagini iniziali non rendono ragione della forma della casa rappresentata e la terza proiezione, pur consentendo di comprendere la forma del tetto, non fa comprendere il volume.<br />Per eseguire una nuova proiezione partendo dalle prime due proiezioni, quella su <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e quella su <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>, occorre fissare sul piano orizzontale la posizione della nuova linea di terra (retta comune al piano orizzontale <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e al nuovo piano verticale <span style="font-style: italic;">pigreco3</span>) che indicheremo con <span style="font-style: italic;">l<span style="font-size:85%;">1-3</span></span>. Quindi, si esegue questa nuova proiezione nel modo consueto riportando su di essa le altezze dei vari punti che possono essere individuate o graficamente, come nella figura, o riportandole mediante la misura diretta facendo uso di una riga graduata.<br />Nella figura è stata costruita una ulteriore proiezione, con nuova linea di terra <span style="font-style: italic;">l<span style="font-size:85%;">1-4</span></span>, che fa comprendere meglio la "volumetria" del solido, che le precedenti proiezioni non consentivano. Questo procedimento viene frequentemente applicato nei disegni di architettura in quanto la nuova proiezione, da sola, è già in grado di rappresentare l'oggetto in modo sufficientemente significativo.Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-7539078049358891862003-11-01T00:00:00.074+01:002010-12-21T00:05:22.063+01:00Le proiezioni ortogonali 6: ribaltamento di un piano su un quadro<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6rZcfvHwCARe7EYnsrDN9PaTyGx3JniMTGAnDEW0qVdVpBPm7u_l2Z6GIG0qkK_vTxz_zGiAO5hetkEQyS6d9UiO-6U4X_oTH7R0nNVNIuX__l7cOcNkVyNukgC1BXVeMKibDH75Uwrg/s1600/B.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 45px; height: 45px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6rZcfvHwCARe7EYnsrDN9PaTyGx3JniMTGAnDEW0qVdVpBPm7u_l2Z6GIG0qkK_vTxz_zGiAO5hetkEQyS6d9UiO-6U4X_oTH7R0nNVNIuX__l7cOcNkVyNukgC1BXVeMKibDH75Uwrg/s200/B.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551225212385575698" border="0" /></a>Il ribaltamento di un piano generico su uno dei due piani di proiezione, detto anche "quadro", ha lo scopo di ricavare la vera forma e la vera grandezza delle figure che si trovano su di esso, consentendo così di "misurare" le distanze tra punti e l'ampiezza dell'angolo tra rette di una figura piana (ovviamente, nella scala del disegno). Tale operazione consente di conoscere ogni dimensione della figura e raggiunge l'obiettivo che si prefiggeva <a href="http://descrittiva3.blogspot.com/2008/06/bo.html">Gaspard Monge</a> (1746-1818) quando nella sua famosa <span style="font-style: italic;"><a href="http://descrittiva.blogspot.com/2010/04/gaspard-monge-introduzione-alla.html">Introduzione alla Geometria Descrittiva</a> </span>(1798) scriveva: "<span style="font-weight: bold; font-style: italic;">Il secondo</span><span style="font-style: italic;"> scopo della geometria descrittiva é di dedurre dalla descrizione esatta dei corpi tutto ciò che discende necessariamente dalle loro forme o dalle loro rispettive posizioni</span>".<br />Ora vedremo i passaggi che occorre percorrere per giungere a tale risultato iniziando con il ribaltamento di un piano proiettante (§. A), e proseguendo con un piano generico (§. B). Nel corso della trattazione faremo esempi di misurazione di distanze e di angoli. <span>Quanto sopra sarà corredato (§. C) di un elenco di esercizi sulla misura di lunghezze e di angoli. A margine della trattazione del ribaltamento vedremo (§. D) come sia possibile dedurre indirettamente la </span><span>condizione di ortogonalità tra retta e piano in questo metodo di rappresentazione facendo uso soltanto dei concetti relativi al ribaltamento.</span><span style="font-weight: bold;"><br /><br /><span style="font-size:130%;">A) Riba</span></span><span style="font-size:130%;"><span style="font-weight: bold;">ltamento di un piano proiettante</span></span><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy4Iwn5c9MfayRjyGSv2_MuhO5hmlPCpRdN1jjHrdTyoL2QfDgnjxkDivJZkKhZVfKYMCzLvyk4Ck4a-aNEItfk1HXehRpzJsy7kuTAzA3h-0hvH6dsUWL7zhPviLsdGv2bnHosiqc5BI/s1600/Ribaltamento_+piano_poriettante_1.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhy4Iwn5c9MfayRjyGSv2_MuhO5hmlPCpRdN1jjHrdTyoL2QfDgnjxkDivJZkKhZVfKYMCzLvyk4Ck4a-aNEItfk1HXehRpzJsy7kuTAzA3h-0hvH6dsUWL7zhPviLsdGv2bnHosiqc5BI/s320/Ribaltamento_+piano_poriettante_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551235355402230514" border="0" /></a><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiXROjPm2zHa1nNm5AIQY581JffeQNWTgHvokZxvW6E0V9uFa23uvgf60LOvBkGc436qjpa7FlPIEawIjG1j2ChBOVoFSkwZI9-kW5QnNdwdo-iew_G9EOOPoJQpcl7ApghhZBLU0MCsY/s1600/Ribaltamento_+piano_poriettante_2.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiXROjPm2zHa1nNm5AIQY581JffeQNWTgHvokZxvW6E0V9uFa23uvgf60LOvBkGc436qjpa7FlPIEawIjG1j2ChBOVoFSkwZI9-kW5QnNdwdo-iew_G9EOOPoJQpcl7ApghhZBLU0MCsY/s320/Ribaltamento_+piano_poriettante_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551235335625503186" border="0" /></a><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPCTfWS8wFagiX853al0zn-M6KH092WJEKX40yfwFCJsIyCVPxfGj8eO7LwhyzzH05K0CutrQrHN50aD0lohquhKcDUEhmRHy32CpqYtbkBXKvU0K9lnXwvKurcPv5XLu_ieejyOdN_P0/s1600/Ribaltamento_+piano_poriettante_3.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPCTfWS8wFagiX853al0zn-M6KH092WJEKX40yfwFCJsIyCVPxfGj8eO7LwhyzzH05K0CutrQrHN50aD0lohquhKcDUEhmRHy32CpqYtbkBXKvU0K9lnXwvKurcPv5XLu_ieejyOdN_P0/s320/Ribaltamento_+piano_poriettante_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5551235324140553538" border="0" /></a><span style="font-weight: bold;font-size:100%;" >Nella tav. 1</span><span style="font-size:100%;"> è rappresentato un piano proiettante <span style="font-style: italic;">beta</span> contenente una retta <span style="font-style: italic;">q</span>.<br /><span style="font-weight: bold;">2) Nella tav. 2</span> il piano <span style="font-style: italic;">beta</span> è stato fatto ruotare intorno alla sua traccia prima, t'<span style="font-style: italic;font-size:85%;" >beta</span>, fino ad adagiarlo sul piano orizzontale <span style="font-style: italic;">pigreco1</span>.<br />Tenendo presente che le tracce di un piano proiettante sono tra loro </span><span style="font-size:100%;">ortogonali, è stata costruita la traccia seconda di <span style="font-style: italic;">beta,</span> (t"<span style="font-style: italic;font-size:85%;" >beta</span>), ortogonalmente alla traccia prima di <span style="font-style: italic;">beta</span>, t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">beta</span></span>, e passante per il vertice del piano V<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">beta</span></span>, </span>poi è stata riportata la T"<span style="font-style: italic;">q</span> con il compasso facendo centro nel vertice del piano, V<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">beta</span></span>.<br />Congiungendo la traccia seconda della retta <span style="font-style: italic;">q</span> ribaltata, (T"<span style="font-style: italic;">q</span>), con la traccia prima di <span style="font-style: italic;">q</span>, T'<span style="font-style: italic;">q</span>, è stata costruita la retta <span style="font-style: italic;">q</span> ribaltata, (<span style="font-style: italic;">q<span style="font-size:85%;">beta</span></span>), considerata, per l'appunto, appartenente al piano <span style="font-style: italic;">beta</span>.<br />Su tale ribaltamento è ora possibile eseguire la misura sia dell'angolo di <span style="font-style: italic;">q</span> con la traccia prima del piano <span style="font-style: italic;">beta</span>, <span style="font-style: italic;">alfa1</span>, (analogamente per l'angolo con la traccia seconda, <span style="font-style: italic;">alfa2</span>) sia la lunghezza della porzione di <span style="font-style: italic;">q</span> che si trova tra le sue due tracce, che è risultata di mm 42.<br />E' da notare che <span style="font-style: italic;">alfa1</span> misura anche l'inclinazione della retta <span style="font-style: italic;">q</span> con il piano orizzontale in quanto l'angolo si trova su un piano ad esso ortogonale, mentre <span style="font-style: italic;">alfa2</span> <span style="font-weight: bold;">non</span> misura l'algolo della retta <span style="font-style: italic;">q</span> con il piano verticale in quanto <span style="font-style: italic;">beta</span> non è ortogonale al piano verticale: per poter effettuare anche la misura dell'inclinazione della retta <span style="font-style: italic;">q</span> con il piano verticale occorre costruire per essa un piano proiettante in seconda proiezione.<br /><span style="font-weight: bold;">Nella tav. 3</span> è stato costruito un triangolo equilatero con base sulla retta <span style="font-style: italic;">q</span> mediante l'altezza, individuando il vertice ribaltato (V).<br />Proiettando tale vertice sulla traccia prima del piano <span style="font-style: italic;">beta</span>, che lo contiene, né e stata individuata la proiezione prima V'. Quindi, con costruzione inversa al ribaltamento, è stata individuata anche la proiezione seconda V", ottenendo su beta la seconda proiezione del triangolo equilatero (preleva la <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgr_0iLb3sdVkcq8Ijd3dhBBhIRzSBoBZ1nB1UaZWKY49HUx3T7E6r09ujXzitl-hp8TCtAeT6pVkhIXhHVC5yjUFiG8OUVYCSpGCewBd4GrtCNxr3l5Qb5zdLoos7wbPRwef1TStU7zA/s1600/Ribaltamento_piano_proiettante-2.png">tav. 3 stampabile</a>).<br /><br /><span style="font-size:130%;"><span style="font-weight: bold;">B) Ribaltamento di un piano generico</span></span><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyprs4LoLfwzN7uuKQm6RnK_Xi2DuHr4f7weuYl52JAMS7lsDwQ8JnusrnvRBRSq69QiEtvguEFbOz8OC9KqYf-n75rYER50_Lm7Z2_MO3V2YAswWQiN4jXGFB4yV6lKFBypxszP5fols/s1600/Ribaltamento_1.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiyprs4LoLfwzN7uuKQm6RnK_Xi2DuHr4f7weuYl52JAMS7lsDwQ8JnusrnvRBRSq69QiEtvguEFbOz8OC9KqYf-n75rYER50_Lm7Z2_MO3V2YAswWQiN4jXGFB4yV6lKFBypxszP5fols/s320/Ribaltamento_1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5549349290907514226" border="0" /></a><span style="font-weight: bold;">1) Nella tav. 1</span> è rappresentato un piano e, su di esso, due rette: una orizzontale, la <span style="font-style: italic;">r</span>, e l'altra di massima pendenza, la <span style="font-style: italic;">s</span>, che, quindi, è ortogonale per costruzione alla <span style="font-style: italic;">r</span>.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">2) Nella tav. 2</span>, che è la prosecuzione della tav. 1, è stato costruito un piano <span style="font-style: italic;">beta</span> proiettante in prima proiezione e passante per la retta di massima pendenza <span style="font-style: italic;">s</span> (che funge da retta comune ai due piani <span style="font-style: italic;">alfa</span> e <span style="font-style: italic;">beta</span>). Poiché le tracce di un piano sono le sole sue parti già in vera grandezza nel disegno, osserviamo che la distanza tra il vertice del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, V<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, e la T"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">s</span></span> della retta s è già una "vera" grandezza: nell'eseguire il ribaltamento del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> sul piano di proiezione orizzontale intorno alla sua t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, tale distanza dovrà conservarsi immutata; inoltre, la retta <span style="font-style: italic;">s</span> è di massima pendenza per il piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, cioè è ortogonale alla t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span> e, pertanto, dopo il ribaltamento dovrà mantenersi tale. Per tracciare il ribaltamento della retta <span style="font-style: italic;">s</span> sul quadro <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> è sufficiente che da T'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">s</span></span> si tracci una retta ortogonale a t"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, che prenderà il nome di <span style="font-style: italic;">retta s ribaltata</span> (ovviamente, sul piano orizzontale) e sinteticamente verrà indicata son (<span style="font-style: italic;">s</span>). Per riportare la lunghezza del segmento di <span style="font-style: italic;">s</span> compreso tra le sue due tracce su (<span style="font-style: italic;">s</span>) è sufficiente eseguire la rotazione, con centro nel vertice del piano, come in tav. 2.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">3) Nella tav. 3</span> abbiamo eseguito il ribaltamento del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> sul piano di proiezione orizzontale, tracciando la (t"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>) passante per il vertive del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, V<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, e la (T"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">s</span></span>) già individuata alla tav. 2.<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGCILn83rQBkkx1Y0QVLGlfGn5zvETJENeap7a0yB0N5BGyCizXG8lu-gWJbTF_8RDgVbezyrvx6c7Jrnn9sLe9r3zMEMKqZF4_vTAG10Q-cgyJLLzC5b1RL4Feten5XrXACspG970gY/s1600/Ribaltamento_2.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGCILn83rQBkkx1Y0QVLGlfGn5zvETJENeap7a0yB0N5BGyCizXG8lu-gWJbTF_8RDgVbezyrvx6c7Jrnn9sLe9r3zMEMKqZF4_vTAG10Q-cgyJLLzC5b1RL4Feten5XrXACspG970gY/s320/Ribaltamento_2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5549349285996550530" border="0" /></a><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVgt74dRvmITXa6j7RTQx0sNndzsnDquGDZF2z8NBfa2pMNl_brCHqe45qWgyvFPEq8Ip1uHy4zEftSGANGGZZr0NAyXgfRmwH7sJytATYpz8rSnPHJH7CbfOlRKMoI94G4_6i790nfQw/s1600/Ribaltamento_3.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVgt74dRvmITXa6j7RTQx0sNndzsnDquGDZF2z8NBfa2pMNl_brCHqe45qWgyvFPEq8Ip1uHy4zEftSGANGGZZr0NAyXgfRmwH7sJytATYpz8rSnPHJH7CbfOlRKMoI94G4_6i790nfQw/s320/Ribaltamento_3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5549349278676577602" border="0" /></a>La retta orizzontale ribaltata (r) verrà costruita su tale ribaltamento del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> con la considerazione che dovrà essere parallela alla t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span> (che per definizione è orizzontale poiché si trova sul piano orizzontale di proiezione e che durante il ribaltamento non ha subito spostamenti dal momento che funge da asse-cerniera del ribaltamento stesso). Un punto qualsiasi <span style="font-style: italic;">P</span> che si trovi sulla retta orizzontale <span style="font-style: italic;">r</span> verrà ruotato nel suo ribaltamento (<span style="font-style: italic;">P</span>) portandolo ortogonalmente alla t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span> da <span style="font-style: italic;">P'</span> su (<span style="font-style: italic;">r</span>).<br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg39zNVk64BX_HMn5LNkfCc77i0XE2c4fmR1y5Xb13vnpQG0pgkdDNe3a9OJTNAMVcEVFQZqg0uNp-Go-BCGkEgGgZfqeNqMkMs6kFsFVBYPEzyoPW_VSM5RWJr8qoAaO1drTJi1oTfu6I/s1600/Ribaltamento_4.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg39zNVk64BX_HMn5LNkfCc77i0XE2c4fmR1y5Xb13vnpQG0pgkdDNe3a9OJTNAMVcEVFQZqg0uNp-Go-BCGkEgGgZfqeNqMkMs6kFsFVBYPEzyoPW_VSM5RWJr8qoAaO1drTJi1oTfu6I/s320/Ribaltamento_4.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5549349272702244530" border="0" /></a><span style="font-weight: bold;">4) Nella tav. 4</span> analogamente a quanto avvenuto per il punto <span style="font-style: italic;">P</span> (in tav. 3), possiamo ribaltare qualsiasi punto che si trovi sul piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> costruendo per esso una retta orizzontale su <span style="font-style: italic;">alfa</span> ed eseguendo le medesime costruzioni fatte per il punto <span style="font-style: italic;">P</span>. In tal modo è possibile misurare la distanza tra qualsiasi coppia di punti del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>. Qui viene presentato il ribaltamento di un triangolo (parte in colore rosso).<br />Per quanto riguarda la misura dell'ampiezza dell'angolo formato da due rette <span style="font-style: italic;">a</span> e <span style="font-style: italic;">b</span> comunque inclinate che si trovino sul piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> occorre ribaltare la traccia seconda di ciascuna di esse (che ovviamente per l'appartenenza si trova sulla t"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>) e portarla, con la solita rotazione intorno a V<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, sulla (t"<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>), poi congiungere con la traccia prima (che, altrettanto ovviamente, sta sulla t'<span style="font-size:85%;"><span style="font-style: italic;">alfa</span></span>, e quindi non si è spostata durante la rotazione). Possiamo così misurare la "vera" ampiezza dell'angolo <span style="font-style: italic;">ab</span> mediante il ribaltamento (<span style="font-style: italic;">a</span>) e (<span style="font-style: italic;">b</span>) delle due rette che lo definiscono.<br />Nella tav. 4 il triangolo APQ risuta essere retto sul vertice A (ed avremmo dovuto capirlo dalla posizione delle rette che vi convergono in quanto le abbiamo costruite ad angolo retto essendo la retta <span style="font-style: italic;">r</span> orizzontale e la <span style="font-style: italic;">s</span> una retta di massima pendenza). Inoltre i suoi lati, nella scala del disegno, hanno le seguenti misure: cateto AQ = mm 13,5; cateto AP = mm 20,5; ipotenusa PQ = mm 24,5. L'ampiezza degli angoli con vertice in P e Q sarà misurata con il goniometro direttamente sul ribaltamento in (P) e (Q) (preleva la <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAiB9XC_7C8eMY9jgZEsF6Tyn0Ovz7hkZvNrmkwjEAUprMLcX8HlOo-bVxUm5HNKjhtIrzEZVXbSdquBhPaUPrZG4hreiFBkhjpM4c20G3V-qtLi8SZqY9ZGrpy-GO8IokGkEBD0eJHQ/s1600/Ribaltamento_piano_generico-.png">tav. 4 stampabile</a>).<br /><br /><span style="font-weight: bold;">5) Il problema inverso</span> di quello di "misurare" distanze tra punti ed angoli tra rette è il problema di "costruire" figure di forma e dimensioni assegnate su un piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>. Per cui, data una figura piana di cui siano note le lunghezze dei lati e l'ampiezza degli angoli tra due lati, occorre disegnare tale figura sul ribaltamento del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, ed eseguire le costruzioni finora esposte nell'ordine inverso, ottenendo così la prima e la seconda proiezione di tale figura.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">6) L'omologia</span> che si riscontra tra il ribaltamento della figura e la prima proiezione della stessa figura, come sarà maggiormente spiegato nel <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2010/12/le-proiezioni-ortogonali-7.html">post 8</a>, risulta evidente constatando che il prolungamento della prima proiezione P'Q' ed il prolungamento dell'ipotenusa ribaltata (PQ) si incontrano nel medesimo punto della t'<span style="font-style: italic;font-size:85%;" >alfa</span> che, pertanto, è l'asse dell'omologia, mentre il centro di omologia è improprio in direzione ortogonale all'asse (si tratta di una <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/12/genesi-spaziale-delle-trasformazioni.html">affinità</a> nella quale le due prospettività che la generano hanno centri di prospettività entrambi impropri, a differenza del caso già presentato nel post sulle trasformazioni che aveva <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjecu_YVq9xNkaZJ4re6NuMxCsV5W2kwW_mKLZzy2uUK3L5gM35oEAXQsKof9ln9NbfUrKeZNC4j1thCHUr1Afiq1S3ekBe0QhYgYsRC4avCJKKUiSmmn5crMrzrjXBWz4MLXwatNRNRw/s1600-h/Genesi_Affinita.jpg">i due centri di prospettività</a> entrambi propri).<br />Con questa constatazione possiamo disegnare il ribaltamento della figura, una volta ottenuto il ribaltamento di un punto del piano alfa, utilizzando le due proprietà già note, come spiegato nel relativo <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/12/omologia.html">post sull'omologia</a> (punti omologhi sono allineati con il centro, rette omologhe si incontrano sull'asse).<br /><br /><span style="font-size:85%;"><span style="font-size:100%;"><span style="font-weight: bold;">N.B.</span></span> - La faccia del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> ribaltato in vista nei disegni è quella inferiore. Pertanto nel costruire una figura occorre avere l'accortezza di disegnare sul ribaltamento di <span style="font-style: italic;">alfa</span> la figura vista dalla parte della faccia opposta rispetto a come dovrà trovarsi nelle proiezioni.</span><span style="font-size:85%;"><br /><span style="font-size:130%;"><span style="font-size:100%;"><br /></span></span></span><span style="font-weight: bold;font-size:130%;" >C) Esercizi sui problemi di misura<br /></span><span style="font-size:85%;"><span style="font-size:130%;"><span style="font-size:100%;">Riporto la parte di esercizi sui problemi di misura tratto dall'elenco del <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2010/12/le-proiezioni-ortogonali-8.html">post 9</a> sulle proiezioni ortogonali.</span></span></span><br /><a href="http://descrittiva4.blogspot.com/2010/12/pr-ort.html">23-PO-MIS-PF</a> - Misurare la distanza tra due punti<br />24-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due piani paralleli<br />25-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette parallele<br />26-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e una retta<br />27-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e un piano<br />28-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due rette (incidenti)<br />29-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due piani<br />30-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra una retta e un piano<br />31-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette sghembe<br />32-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra un punto e un piano<br />33-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra una retta e un piano di proiezione<br />34-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra un piano generico e un piano di proiezione<br /><br /><span style="font-weight: bold;font-size:130%;" >D) L'ortogonalità tra retta e piano</span><span style="font-weight: bold;font-size:130%;" > desumibile dal ribaltamento</span><br />L'argomento è stato già trattato nel <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2010/12/le-proiezioni-orto-4.html">post precedente</a> enunciando le condizioni di ortogonalità tra retta e piano. Ora vogliamo dedurre tali condizioni indirettamente mediante l'esame del disegno congiunto del ribaltamento di un piano generico e di uno proiettante ad esso ortogonale.<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxytH36ZESyN1wBKG5kUpf7w8IqTP3W_MccPyqru_5U8rvdQ4-1vxPEDEVDfCCO1rM4UWsq-_OwXgJG3PjFoQW4pUUkHwKFUZrPZ8Ta_DCv0moe9ZkfBcxv9ejWVS7buHzrpDbIs7uK1I/s1600/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+1.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 200px; height: 200px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxytH36ZESyN1wBKG5kUpf7w8IqTP3W_MccPyqru_5U8rvdQ4-1vxPEDEVDfCCO1rM4UWsq-_OwXgJG3PjFoQW4pUUkHwKFUZrPZ8Ta_DCv0moe9ZkfBcxv9ejWVS7buHzrpDbIs7uK1I/s200/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+1.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5552880718763355906" border="0" /></a><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhr_V6kBinUAJvzzQ0pVui3_om0o06d2VHKn0DWpfUi6FYcod3VEp9aGkBcPlV9CcQlbf_EE1dw5UYYtBcVELTjeSZt0qDKlpfXgumzZAKktUMgjHGqS8EjTU-RArY2pWdAAJ7dECdaP-U/s1600/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+2.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 200px; height: 200px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhr_V6kBinUAJvzzQ0pVui3_om0o06d2VHKn0DWpfUi6FYcod3VEp9aGkBcPlV9CcQlbf_EE1dw5UYYtBcVELTjeSZt0qDKlpfXgumzZAKktUMgjHGqS8EjTU-RArY2pWdAAJ7dECdaP-U/s200/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+2.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5552880711165340082" border="0" /></a><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3vndYnqxlwlpy8856v9ty2XT8lAsW2B9AhGXO8vs9Yhhl3Xu0cGahHw3Xkgbi-UO-y86yo9iw0vlhelfh1-FoL6DJaUsYgV9xbwiA2jJFA-RHI2HxaOmxRGllE9ftkUy8X9tB8sYHsuA/s1600/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+3.png"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 200px; height: 200px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3vndYnqxlwlpy8856v9ty2XT8lAsW2B9AhGXO8vs9Yhhl3Xu0cGahHw3Xkgbi-UO-y86yo9iw0vlhelfh1-FoL6DJaUsYgV9xbwiA2jJFA-RHI2HxaOmxRGllE9ftkUy8X9tB8sYHsuA/s200/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita+3.png" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5552897601515684754" border="0" /></a><span style="font-weight: bold;">1) Nella tav. D1</span> vediamo il piano generico <span style="font-style: italic;">alfa</span>, ortogonalmente al quale è stato portato il piano proiettante <span style="font-style: italic;">beta</span>: la retta <span style="font-style: italic;">q</span> è la retta comune ad essi. Il piano proiettante <span style="font-style: italic;">beta</span> è stato ribaltato sul piano orizzontale <span style="font-style: italic;">pigreo1</span>, facendolo ruotare intorno alla sua traccia prima. Con esso abbiamo trasportato anche la T"q, per cui abbiamo potuto costruire il ribaltamento della retta <span style="font-style: italic;">q</span> su <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> considerato appartenente a <span style="font-style: italic;">beta</span>. Quindi abbiamo preso un punto (Q) (con colore rosso) sulla retta (q) e, con procedimento inverso al ribaltamento, abbiamo trovato la posizione di Q' e di Q".<br /><span style="font-weight: bold;">2) Nella tav. D2</span> abbiamo costruito l'ortogonale alla (<span style="font-style: italic;">q</span>) (con colore rosso) , e su di essa abbiamo preso un punto qualsiasi (<span style="font-style: italic;">V</span>) al fine di poterne costruire la posizione nella prima e nella seconda proiezione.<br /><span style="font-weight: bold;">3) Nella tav. D3</span> è stata individuata la posizione della prima e della seconda proiezione, <span style="font-style: italic;">V'</span> e <span style="font-style: italic;">V"</span>, del punto <span style="font-style: italic;">V</span>: tale operazione ha consentito di disegnare la retta <span style="font-style: italic;">r</span> che, pertanto, risulta ortogonale al piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> nel punto <span style="font-style: italic;">Q</span>. Se ora esaminiamo su <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> l'inclinazione della prima proiezione della retta <span style="font-style: italic;">r</span> rispetto alla traccia prima del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, riscontriamo che sono tra loro ortogonali, e la stessa cosa accade sul piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span> (preleva la <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNgylbgTf_3j-_lTqw2XvKrmls6MJHAD8aEJ7HyXN7uIR_tzZqBkaGtCH1223ICIE-aPTpQAB6lGyPC7a6cRJJLup9ALIJtJlDCs1KCdbFIZ7GwYcl7PGtv88XnwPaaOtuXrolpybGxw/s1600/Ribaltamento+%253D+Ortogonalita.png">tav. D3 stampabile</a>).<br />Ciò consente di ribadire la condizione di ortogonalità tra retta e piano come la conosciamo già e di convincerci dell'apparente stranezza del confronto tra una proiezione (della retta) e una traccia (del piano) che, pur essendo di genere diverso, nel caso dell'ortogonalità, vanno messe a confronto.<br />Questa procedura, insieme a quelle esaminate nel §. A e nel §. B, consente di costruire segmenti di altezza data ortogonalmente ad un piano generico e, pertanto, viene impiegata per la costruzione di solidi di dimensioni assegnate sul piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>.Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-8316740543751314482003-10-02T00:00:00.012+02:002013-09-25T22:38:34.468+02:00Le proiezioni ortogonali 5: condizioni di perpendicolaritàNOTA PRELIMINARE<br />
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali è una affinità (vedi in questo <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/12/genesi-spaziale-delle-trasformazioni.html">post</a>), pur conservando il parallelismo, non conserva l'ampiezza degli angoli né la lunghezza dei segmenti e, dunque, in generale le sue proiezioni su uno dei piani di proiezione non conserva l'ortogonalità tra rette nè le tracce omonime di piani ortogonali sono tra loro ortogonali.<br />
Dalla <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/09/richiami-di-geometria-elementare-dello.html">geometria elementare dello spazio</a> (vedi punti c e d) ricordiamo due circostanze che possono farci risolvere il problema:<br />
1) due rette sono perpendicolari tra loro quando una di esse si trova su un piano ortogonale all'altra:<br />
2) due piani sono perpendicolari tra loro quando uno di essi contiene una retta ortogonale all'altro.<br />
Pertanto, la condizione di perpendicolarità viene espressa in modo diretto solo tra retta e piano e viceversa, ma non può essere espressa in modo diretto tra enti geometrici dello stesso tipo, come retta con retta (nel qual caso occorre un piano ausiliario) o piano con piano (nel qual caso occorre una retta ausiliaria).<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBlf6BE1HwI_nPrTg1_c7r5dRWAn-YABGVtxV2uerOb2xAIy_EzS7V3cK5g57B8KN83wRy5-B1L4ZocPioFpjq6gY5-7sn8fFL-MMIBVzSXi3zBkEaZsIeQMPWQEFZpGJf8L27_IyCHCQ/s1600/PO5.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547148391594240626" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBlf6BE1HwI_nPrTg1_c7r5dRWAn-YABGVtxV2uerOb2xAIy_EzS7V3cK5g57B8KN83wRy5-B1L4ZocPioFpjq6gY5-7sn8fFL-MMIBVzSXi3zBkEaZsIeQMPWQEFZpGJf8L27_IyCHCQ/s400/PO5.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 293px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 400px;" /></a><span style="font-weight: bold;">CONDIZIONI DI ORTOGONALITA'</span><br />
<span style="font-weight: bold;">Una retta e un piano sono tra loro perpendicolari se lo sono le proiezioni della retta con le tracce omonime del piano, e viceversa.</span><br />
1 - Una retta <span style="font-style: italic;">r</span> è perpendicolare ad un piano <span style="font-style: italic;"><span style="font-family: trebuchet ms;">a</span>lfa</span> se le sue proiezioni <span style="font-style: italic;">r'</span> ed <span style="font-style: italic;">r"</span> sono perpendicolari alle tracce omonime del piano <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> e <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span>.<br />
2 - E viceversa, un piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> è perpendicolare ad una retta <span style="font-style: italic;">r</span> se le tracce del piano <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> e<span style="font-style: italic;"> t"<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span><span style="font-size: 85%;"> </span>sono perpendicolari rispettivamente alle proiezioni omonime della retta <span style="font-style: italic;">r'</span> ed <span style="font-style: italic;">r"</span>).<br />
3 - Una retta <span style="font-style: italic;">s</span> è ortogonale ad una retta <span style="font-style: italic;">r</span> (data) se per quest'ultima passa un piano ad essa ortogonale.<br />
4 - E viceversa, vedi figura a fianco, un piano <span style="font-style: italic;">beta</span> è ortogonale ad un piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> (dato) se le sue tracce <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">beta</span></span> e <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">beta</span></span> passano per le tracce <span style="font-style: italic;">T'r</span> e <span style="font-style: italic;">T"r</span> di una retta ortogonale ad <span style="font-style: italic;">alfa</span> (individuata come al caso1).Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-85417802245189679762003-10-01T00:00:00.018+02:002013-04-13T15:26:10.315+02:00Le proiezioni ortogonali 4: condizioni di parallelismo<span style="font-weight: bold;">Due enti geometrici sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi</span>.<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVIyiMmWgAGa-WYtviXmSa2kNVWCLsza189K1snmB8IynL3O1Ma-QOq_g7S2IyMnem7XGv38wCnlM1rHjIqbY_l5GgvLLTQVFP8_iSi56MGJK-_fm5L7l42v06ckqUb3Jf4bU_a7c6FrU/s1600/PO4.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547144508939363810" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVIyiMmWgAGa-WYtviXmSa2kNVWCLsza189K1snmB8IynL3O1Ma-QOq_g7S2IyMnem7XGv38wCnlM1rHjIqbY_l5GgvLLTQVFP8_iSi56MGJK-_fm5L7l42v06ckqUb3Jf4bU_a7c6FrU/s400/PO4.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 293px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 400px;" /></a>1 - Due rette sono parallele se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.<br />
2 - Due piani sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.<br />
3 - Un piano è parallelo ad una retta se contiene una retta (ausiliaria) parallela a quella data.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">CONSIDERAZIONI</span><br />
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali utilizza <a href="http://descrittiva4.blogspot.com/2008/08/proiezione-conica.html">proiezioni parallele</a>, esso conserva il parallelismo, per cui:<br />
1 - Per costruire una retta <span style="font-style: italic;">s</span> parallela ad una retta <span style="font-style: italic;">r</span> (data) occorre costruire <span style="font-style: italic;">s'</span> parallelamente ad <span style="font-style: italic;">r'</span> ed <span style="font-style: italic;">s"</span> parallelamente ad <span style="font-style: italic;">r"</span>.<br />
2 - Per costruire un piano <span style="font-style: italic;">beta</span> parallelo ad un piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> (dato) occorre costruire <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">beta</span></span> parallelamente a <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span>, e <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">beta</span></span> parallelamente a <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span>, ricordando che le tracce del piano devono incontrarsi nello stesso punto della linea di terra <span style="font-style: italic;">l</span>.<br />
3 - Nel terzo caso, e cioè la costruzione di un piano parallelo ad una retta, ci troviamo di fronte a due modi che non possono essere percorsi: a) pur essendo dello stesso genere le tracce del piano da costruire (che sono rette) e le tracce della retta data (che sono punti), non ha senso una relazione di parallelismo tra retta e punto; b) le tracce del piano (che sono rette) non possono essere messe in relazione di parallelismo con le proiezioni della retta data (che sono rette anch'esse) perché sono di generi diversi.<br />
<br />
La difficoltà, tuttavia, <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjW8L1lieEYR218nh0XdMJNBEuxe_0T8g1-iQGU2x2TnjeaZB8rtdxRcJGG54WZ-60gRLBYfSRO23wUksTVgG6mKRhh1bvk9aKE09v6DlZ_-GmkhqCwvo2tATIDabwsJudkXGsPMor59Lk/s1600/PO4-1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547193992200268530" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjW8L1lieEYR218nh0XdMJNBEuxe_0T8g1-iQGU2x2TnjeaZB8rtdxRcJGG54WZ-60gRLBYfSRO23wUksTVgG6mKRhh1bvk9aKE09v6DlZ_-GmkhqCwvo2tATIDabwsJudkXGsPMor59Lk/s200/PO4-1.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 104px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 200px;" /></a>viene superata (vedi figura) tracciando prima una retta ausiliaria <span style="font-style: italic;">s</span> qualsiasi, cioè costruendo le proiezioni di <span style="font-style: italic;">s</span> parallelamente alle proiezioni di <span style="font-style: italic;">r</span> (che sono dello stesso genere, cioè, per l'appunto, sono delle proiezioni) con <span style="font-style: italic;">s'</span> parallela ad <span style="font-style: italic;">r'</span>, ed <span style="font-style: italic;">s"</span> parallela ad <span style="font-style: italic;">r"</span> e quindi ricavando da queste le tracce <span style="font-style: italic;">T's</span> e <span style="font-style: italic;">T"s</span> della retta <span style="font-style: italic;">s</span> e, solo dopo, costruendo le tracce <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> e <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> passanti per le tracce <span style="font-style: italic;">T's</span> e <span style="font-style: italic;">T"s</span> della retta <span style="font-style: italic;">s</span>, ricordando che si devono incontrare nello stesso punto sulla linea di terra <span style="font-style: italic;">l</span> (punto che viene chiamato "vertice del piano"). Il piano <i>alfa </i>risulta essere uno dei tanti (infiniti) piani del fascio di piani che ha per sostegno la retta <i>s</i>.<br />
Dallo specchietto si nota che non si possono impiegare solo gli elementi rappresentativi degli enti dati o da ricercare, ma che occorre fare ricorso ad enti ausiliari: in questo caso, la retta <i>s</i>.Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-67506514057392980092003-09-02T00:00:00.024+02:002013-09-25T22:33:33.468+02:00Le proiezioni ortogonali 3: condizioni di appartenenza<!--[if gte mso 9]><xml> <w:worddocument> <w:view>Normal</w:View> <w:zoom>0</w:Zoom> <w:trackmoves/> <w:trackformatting/> <w:hyphenationzone>14</w:HyphenationZone> <w:punctuationkerning/> <w:validateagainstschemas/> <w:saveifxmlinvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid> <w:ignoremixedcontent>false</w:IgnoreMixedContent> <w:alwaysshowplaceholdertext>false</w:AlwaysShowPlaceholderText> <w:donotpromoteqf/> <w:lidthemeother>IT</w:LidThemeOther> <w:lidthemeasian>X-NONE</w:LidThemeAsian> 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problemi da risolvere sono tre, come tre sono le copie di elementi geometrici fondamentali, punto retta e piano, e cioè: un punto che appartenga ad una retta; una retta che appartenga ad un piano; un punto che appartenga ad un piano.<br />
1 - Una retta passa per un punto (dato) se le proiezioni della retta passano per le proiezioni omonime del punto.<br />2 - Un piano passa per una retta (data) se le tracce del piano passano per le tracce omonime della retta.<br />
3 - Un piano passa per un punto (dato) se le tracce del piano passano per le tracce omonime di una retta (ausiliaria) che ha le proiezioni passanti per le proiezioni omonime del punto.<br />
<span style="font-weight: bold;"><br /></span><span style="font-weight: bold;">CONSIDERAZIONI</span><br />1 - E' evidente dalla figura l'appartenenza del punto <span style="font-style: italic;">P</span> alla retta <span style="font-style: italic;">r</span>, poichè le proiezioni <span style="font-style: italic;">P'</span> e <span style="font-style: italic;">P"</span> stanno sulle proiezioni omonime <span style="font-style: italic;">r'</span> ed <span style="font-style: italic;">r"</span> della retta <span style="font-style: italic;">r</span>.<br />2 - Altrettanto evidente è il caso dell'appartenenza tra retta <span style="font-style: italic;">r</span> e piano <span style="font-style: italic;">a</span><span style="font-style: italic;">lfa</span>, in quanto le tracce <span style="font-style: italic;">T'r</span> e <span style="font-style: italic;">T"r</span> della retta <span style="font-style: italic;">r</span> stanno sulle tracce <span style="font-style: italic;">t'<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> e <span style="font-style: italic;">t"<span style="font-size: 85%;">alfa</span></span> del piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>.<br />
3 - Meno evidente appare il terzo caso, cioè quello dell'appartenenza del punto <span style="font-style: italic;">P</span> al piano <span style="font-style: italic;">alfa</span>, in quanto non si possono correlare <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhP2jARdVmmAIC0djAAtykFnYMKvyb_wpUR1tI4ibqECYJFFMsXVjrKK3GuI3Gu-u4Wo0WzKMbwzwLBvxvphomN-oVWgswgWHdYEhdYZB5_zaV15dyix2nNvfbdxjBdQBYMdeErOVs3VUk/s1600/PO3-1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547152094259675394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhP2jARdVmmAIC0djAAtykFnYMKvyb_wpUR1tI4ibqECYJFFMsXVjrKK3GuI3Gu-u4Wo0WzKMbwzwLBvxvphomN-oVWgswgWHdYEhdYZB5_zaV15dyix2nNvfbdxjBdQBYMdeErOVs3VUk/s200/PO3-1.jpg" style="cursor: pointer; float: left; height: 104px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 200px;" /></a>gli elementi rappresentativi del punto, che sono proiezioni, con gli elementi rappresentativi del piano, che sono tracce, cioè gli elementi rappresentativi del punto e del piano sono di generi diversi e, pertanto, sono correlabili tra loro solo tramite una retta (che in questo terzo caso assume la funzione di <span style="font-style: italic;">retta ausiliaria</span>).<br />Quindi, per posizionare un punto <span style="font-style: italic;">P</span> su un piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> si deve ricorrere in primo luogo ad una retta ausiliaria <span style="font-style: italic;">r</span> che stia sul piano <span style="font-style: italic;">alfa</span> (come nel caso 2) e, solo dopo, individuare il punto <span style="font-style: italic;">P</span> sulla retta ausiliaria <span style="font-style: italic;">r</span> (come nel caso 1).<br />Anche in questo caso torna utile lo specchietto che si riporta a fianco, dove con la linea continua che collega i vari elementi rappresentativi si indica il percorso da seguire (in un verso o nell'altro) per il passaggio dal piano al punto e viceversa.<span style="font-weight: bold;"><br /></span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-43350097208413645512003-09-01T12:00:00.022+02:002010-12-07T09:44:23.678+01:00Le proiezioni ortogonali 2: rappresentazione degli enti geometrici<span style="font-weight: bold;">INTRODUZIONE</span><br />Gli elementi mediante i quali si rappresentano gli enti geometrici sono di due tipi:<br />a) la proiezione sul piano di proiezione;<br />b) la traccia sul piano di proiezione, cioè l'elemento di incontro tra l'ente che stiamo considerando e uno dei piani di proiezione: se stiamo trattando di una retta, allora avremo che una sua traccia sarà costituita da un punto, mentre se stiamo considerando un piano, allora la sua traccia sarà una retta.<br />Se, ad esempio, impieghiamo due piani di proiezione, allora avremo due proiezioni (una su ciascun piano), oppure due tracce, oppure due proiezioni e due tracce, a seconda dell'ente geometrico che stiamo considerando.<br />Occorre fare una netta distinzione tra proiezione e traccia in quanto, pur trovandosi entrambi, ovviamente, su un piano di proiezione, sono di <span style="font-style: italic;">genere</span> diverso: la proiezione non è un punto "vero" ma, per l'appunto, una proiezione, cioè una "immagine" della figura, mentre la traccia è un punto vero.<br /><br /><span style="font-weight: bold;">RAPPRESENTAZIONE</span><br />I punti vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: <span style="font-style: italic;">A</span>, <span style="font-style: italic;">B</span>, <span style="font-style: italic;">C</span>, <span style="font-style: italic;">P</span>, <span style="font-style: italic;">Q</span>, ecc.. Le rette vengono indicate mediante le lettere minuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: <span style="font-style: italic;">a</span>, <span style="font-style: italic;">b</span>, <span style="font-style: italic;">c</span>, <span style="font-style: italic;">r</span>, <span style="font-style: italic;">s</span>, ecc.. I piani vengono indicati mediante le lettere minuscole dell'alfabeto greco, ad esempio: <span style="font-style: italic;">alfa</span>, <span style="font-style: italic;">beta</span>, <span style="font-style: italic;">gamma</span>, ecc. (nel testo si indicheranno per esteso in quanto il blog non dispone dell'alfabeto greco, mentre nelle figure si indicheranno con la lettera greca vera e propria).<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeGImc5qGtfFKcKB8H60J0Hy69tII6Z5Wyy3U-X2wx4A14LN-zNOZxrlCTT-dxK7j1TrdHajKgLFJIg0KYtV21k2gR1madbBdGTtL8S6nCADM9kNJhmVsCXDD2Wkn0GBJ7H99CKXCWOlw/s1600/PO2.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 400px; height: 293px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeGImc5qGtfFKcKB8H60J0Hy69tII6Z5Wyy3U-X2wx4A14LN-zNOZxrlCTT-dxK7j1TrdHajKgLFJIg0KYtV21k2gR1madbBdGTtL8S6nCADM9kNJhmVsCXDD2Wkn0GBJ7H99CKXCWOlw/s400/PO2.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547143977528406130" border="0" /></a>Se impieghiamo due piani di proiezione (vedi figura):<br /><span style="font-weight: bold;">1) un punto </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">P</span><span style="font-weight: bold;"> è rappresentato mediante le sue due proiezioni </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">P'</span><span style="font-weight: bold;"> e </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">P"</span><span style="font-weight: bold;"> le quali si trovano su una stessa "retta di richiamo" ortogonalmente alla linea di terra </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">l</span>;<br /><span style="font-weight: bold;">2) una retta </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">r</span><span style="font-weight: bold;"> è rappresentata mediante le sue due proiezioni </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">r'</span><span style="font-weight: bold;"> ed </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">r"</span><span style="font-weight: bold;"> (che sono rette), oppure mediante le sue due tracce </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">T'r</span><span style="font-weight: bold;"> e </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">T"r</span><span style="font-weight: bold;"> (che sono punti).</span> Conoscendo le proiezioni di una retta, si possono ricavare le tracce della medesima retta: dove una proiezione incontra la linea di terra si traccia una retta perpendicolare ad essa (retta di richiamo) e, all'incontro di questa con l'altra proiezione della retta, si trova la traccia della retta con lo stesso apice (esempio: T'r su r', e T"r su r").<br /><span style="font-weight: bold;">3) un piano </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">alfa</span><span style="font-weight: bold;"> è rappresentato mediante le sue due tracce </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">alfa'</span><span style="font-weight: bold;"> ed </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">alfa"</span><span style="font-weight: bold;"> (che sono rette) e che si incontrano nello stesso punto sulla linea di terra (detto "vertice del piano")</span>.<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold;">CONSIDERAZIONI</span><br />Nelle applicazioni occorre confrontare, cioè mettere in correlazione, solo proiezioni di punti con proiezioni di rette (che sono entrambi del genere "proiezioni"), oppure solo tracce di rette con tracce di piani (che sono entrambi del genere "tracce"), oppure proiezioni di rette con tracce di rette (che sono relative allo stesso ente geometrico retta), ma non è possibile mettere in correlazione le proiezioni di un punto con le tracce di un piano (che non sono né dello stesso genere, né relativi allo stesso ente geometrico).<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtG4x_Bu_6EPcatUvyKY0Kc8GCHAXeIF0PK7-DV22e0V7Xv6JQnb3ESqtcbRFMdIRSKpplB4ftR_dGnuKScJ8lEbzXR5V11STwt67g6yWZvizEmOXOVQYED38SEdvcxu23uaegG6Nx9Uw/s1600/PO2-1.jpg"><img style="float: left; margin: 0pt 10px 10px 0pt; cursor: pointer; width: 200px; height: 104px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjtG4x_Bu_6EPcatUvyKY0Kc8GCHAXeIF0PK7-DV22e0V7Xv6JQnb3ESqtcbRFMdIRSKpplB4ftR_dGnuKScJ8lEbzXR5V11STwt67g6yWZvizEmOXOVQYED38SEdvcxu23uaegG6Nx9Uw/s200/PO2-1.jpg" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547143566848034098" border="0" /></a>Nello schema sono indicati gli enti geometrici (riga in alto) e, con un pallino nero, il tipo di elementi rappresentativi di ciascuno, coiè se sono proiezioni oppure tracce.<br />Occorre anche ricordare che, quando due rette sono parallele (esempio, le proiezioni di una retta, oppure le tracce di un piano), il loro punto di incontro esiste comunque e si trova all'infinito (e per questo motivo non potremo disegnarlo sul foglio da disegno, ma potremo solo indicarlo con una nota apposta sopra un segmentino a doppia freccia che ne rappresenta la direzione).<br />In questi casi, generalmente, non è più possibile rappresentare in modo "univoco" quell'ente geometrico, ed è necessario ricorrere al un terzo piano di proiezione, disposto ortogonalmente ai precedenti due, dove ricercheremo gli elementi rappresentativi di quell'ente.Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-91521479871537750862003-09-01T00:00:00.019+02:002012-01-06T22:09:22.612+01:00Le proiezioni ortogonali 1: elementi di riferimento e modo di proiettareLe proiezioni ortogonali sono un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva che impiega due proiezioni, e per tale motivo sono dette <span style="font-style: italic;">bicentrali</span>, o "doppie proiezioni ortogonali". Lo studioso che ne ha portato la teoria e l'applicazione a quanto ad oggi conosciuto è <a href="http://descrittiva3.blogspot.com/2008/06/bo.html">Gaspard Monge</a> (1746-1818), e per tale motivo si suole chiamarle anche "proiezioni mongiane".<br />
<br />
Gli elementi di riferimento sono costituiti da:<br />
a) due piani di proiezione, <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>, disposti nello spazio ortogonalmente tra loro;<br />
b) due centri di proiezione impropri, <span style="font-style: italic;">C1</span> e <span style="font-style: italic;">C2</span>, (uno per ciascun piano di proiezione) con direzione ortogonale al rispettivo piano su cui proiettano (dunque le due proiezioni sono <a href="http://descrittiva4.blogspot.com/2008/08/proiezione-conica.html">proiezioni parallele</a> e, pertanto, conservano il parallelismo).<br />
<br />
Lo spazio risulta, pertanto, diviso in <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXAqNxmj90TOX7Y2oGBp6tyImr-4JgB5o6NrgUuX-5gdige7D0rvXLim1boOd3lv0_bkpCi0788Kz8OHyNmFvJERhHOtn5DkYmjKTrbAXedD_F-wTgjJr2gynwYznpzYjg8hThlaNXKQM/s1600/PO10.jpg">4 diedri retti</a>, due sopra al piano <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e due sotto oppure due davanti al piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span> e due dietro e, per convenzione, sono così numerati:<br />
- il I° diedro è quello dove di trova l'osservatore (dizione impropria in quanto, come detto sopra, i due centri sono all'infinito);<br />
- il II° diedro è quello sopra al piano <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e oltre il piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>;<br />
- il III° diedro è quello posto sotto al piano <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e oltre il piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>;<br />
- il IV° diedro è quello posto sotto al I° diedro.<br />
<br />
I due piani di proiezione, <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>, si incontrano secondo una retta, generalmente indicata con <span style="font-style: italic;">l</span>, detta linea di terra, o retta di riferimento nel disegno. Tale retta divide ciascun piano di proiezione in due semipiani, per cui i quattro semipiani verranno indicati come anteriore e posteriore per il piano <span style="font-style: italic;">pigreco1</span>, superiore ed inferiore per il piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span>.<br />
<br />
Di solito l'oggetto da rappresentare viene collocato nel I° diedro per facilità di visualizzazione e per semplificare le costruzioni da eseguire. Tuttavia, come vedremo in seguito, alcune costruzioni potranno interessare anche gli altri diedri.<br />
<br />
Finora abbiamo illustrato il metodo nello spazio, ma poiché dobbiamo eseguire i nostri disegni su un foglio piano dobbiamo esaminare come ciò sia possibile: in pratica, dopo aver eseguito le due proiezioni sui due piani <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e <span style="font-style: italic;">pigreco2</span> disposti nello spazio, ci si riporta ad un unico piano che, lo ripeto, è il piano del disegno, mediante un ribaltamento del piano <span style="font-style: italic;">pigreco2</span> (vedi in questo <a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2001/12/genesi-spaziale-delle-trasformazioni.html">post</a>) intorno alla linea di terra <span style="font-style: italic;">l</span> fino ad adagiarlo su <span style="font-style: italic;">pigreco1</span>, il che equivale ad una proiezione da un centro <span style="font-style: italic;">C3</span> improprio disposto ortogonalmente al piano bisettore del II° e IV° diedro.<br />
Dopo questa operazione di ribaltamento avremo che il semipiano superiore di <span style="font-style: italic;">pigreco2</span> è sovrapposto al semipiano posteriore di <span style="font-style: italic;">pigreco1</span>, e il semipiano inferiore di <span style="font-style: italic;">pigreco</span>2 è sovrapposto al semipiano anteriore di <span style="font-style: italic;">pigreco1</span> e, pertanto, essendo ora i due piani coincidenti con il foglio da disegno, possiamo eseguire tutte le costruzioni su di esso.<br />
_________________<br />
<span style="font-size: 85%;">Vedi anche <a href="http://descrittiva3.blogspot.com/2000/01/federigo-enriques-1871-1946.html">Enriques Federigo</a>, <span style="font-style: italic;">Lezioni di geometria descrittiva</span>, Zanichelli, 1920, <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACV4849.0001.001/66?rgn=full+text;view=pdf">pag. 49</a>, relativa al passaggio proiettivo dalla proiezione centrale a quella parallela, in merito ai metodi delle proiezioni ortogonali e dell'assonometria ortogonale e obliqua.</span><br />
<div>
<span style="font-size: 85%;">___________________</span></div>
<div>
<span style="font-size: 85%;">Vedi come avviene il modo di proiettare un oggetto su tre piani di proiezione, anziché su due come fatto sopra, in <a href="http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/ukl-wsp/geom_ukl-wsp_01.html">questa pagina</a> del sito web sulla geometria descrittiva del Politecnico di Varsavia (Polonia); esplora anche le <a href="http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html">altre pagine</a> del sito.</span></div>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-58381754240572708362002-05-02T12:00:00.010+02:002012-01-06T22:14:11.805+01:00Le proiezioni centrali 10: applicazioni<span style="font-size: 85%;"><span style="font-size: 85%;"><span style="font-size: 130%;"><span style="font-size: 100%;"><a href="http://descrittiva1.blogspot.com/2000/08/programma-del-corso-biennale-di-e.html">Quadro generale</a> di riferimento delle applicazioni.<br />Le applicazioni verranno esposte prossimamente: per ora se ne elencano gli argomenti.<br />- Prospettiva<br />- Anamorfosi<br />- Fotogrammetria<br />- Teoria delle ombre<br />- Rappresentazione delle superfici coniche (vedi Enriques, <span style="font-style: italic;">Lezioni di g.d.</span>, <a href="http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ACV4849.0001.001/198?rgn=full+text;view=pdf">pag. 181</a>).<br />- Scenografia e bassorilievo<br />- Riflessi su specchio.</span></span></span></span><span style="font-size: 85%;"><span style="font-size: 130%;"><span style="font-size: 85%;"><br />_____________________________________________________<br />N.B. - Per l'intero testo di Federigo Enriques sulla geometria descrittiva vedi <a href="http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACV4849.0001.001"> University of Michigan, Historical Math Collection</a>.</span></span></span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-77152603482712512032002-05-02T00:01:00.004+02:002010-12-07T09:45:52.155+01:00Le proiezioni centrali 9: esercitazioniFausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-54650401251431863352002-05-01T00:00:00.006+02:002010-12-07T09:46:21.596+01:00Le proiezioni centrali 8: impiego dell'omologiaFausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-77443098458477838002002-04-02T00:00:00.003+02:002010-12-07T09:08:13.977+01:00Le proiezioni centrali 7: cambiamento del piano di proiezioneFausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-25994081320496705322002-04-01T00:00:00.004+02:002010-12-07T09:47:08.296+01:00Le proiezioni centrali 6: il ribaltamento di un piano generico sul quadroFausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-52019862400231860202002-03-03T00:00:00.005+01:002012-12-10T14:27:15.230+01:00Le proiezioni centrali 5: condizioni di perpendicolaritàxxFausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-68969531382921356612002-03-02T00:00:00.005+01:002012-12-08T14:59:44.220+01:00Le proiezioni centrali 4: condizioni di parallelismo<br />
IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI GENERICI<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-ntU8mpt0lzYINEekGa9MSZA5mvK9hyphenhyphenv4mot5VuCMqY6JORKxQSmuL_1qPJDaslsX65TXPXuSFFBw4bpvBKtttSaKsx4-JocxQ06kjw5xrOW3ck0JcIUu1AzHLGRKMEIhCc8Fmj6pJyg/s1600/Proiezione_Centrale_parallelismo_tra_rette.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-ntU8mpt0lzYINEekGa9MSZA5mvK9hyphenhyphenv4mot5VuCMqY6JORKxQSmuL_1qPJDaslsX65TXPXuSFFBw4bpvBKtttSaKsx4-JocxQ06kjw5xrOW3ck0JcIUu1AzHLGRKMEIhCc8Fmj6pJyg/s320/Proiezione_Centrale_parallelismo_tra_rette.gif" width="320" /></a>La condizione generale di parallelismo nella proiezione centrale si esprime dicendo:<br />
<b>Due enti geometrici sono paralleli se uno di essi ha la fuga su quella dell'altro</b>.<br />
Si può parlare di parallelismo a) tra due rette, b) tra due piani e c) tra una retta e un piano. Esaminiamo i tre casi:<br />
<br />
a) se le due rette <i>r</i> ed <i>s </i>sono parallele tra loro allora avranno una stessa immagine, <i><span style="color: #262626;">R’</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><i><span style="color: #262626;">≡ </span></i><i>S’</i><i><sub>∞</sub></i> , dei loro punti impropri, <span style="font-family: inherit;"><i><span style="color: #262626;">R</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><i><span style="color: #262626;">ed </span></i><i>S’</i><i><sub>∞ . </sub></i></span><br />
b) se i due piani <i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;"> </i><span style="line-height: 19px;"><span style="font-family: inherit;">e</span></span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;"> b </i>sono paralleli tra loro (in analogia con il caso delle rette) allora avranno la stessa immagine, <i><span style="color: #262626;">a’</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><i><span style="color: #262626;">≡ </span></i><i>b’</i><i><sub>∞ </sub></i>, delle loro rette improprie, <i><span style="color: #262626;">a</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><i><span style="color: #262626;">e b</span></i><sub><i>∞</i>;</sub><br />
<sub><span style="font-family: inherit; font-size: small;">c) se la retta <i>a</i> è parallela al pian</span></sub><sub><span style="font-family: inherit; font-size: small;">o </span></sub><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">b</i><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;"> </i><span style="line-height: 19px;"><span style="font-family: inherit;">allora </span></span><span style="font-family: inherit;">l'immagine </span><i><span style="color: #262626;">A’</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><span style="font-family: inherit;">del punto improprio, </span><i><span style="color: #262626;">A</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><span style="font-family: inherit;">,</span><span style="font-family: inherit;"> della retta <i>a</i> sta sull'immagine </span><i><span style="color: #262626;">a’</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞ </span></sub></i><span style="font-family: inherit;">della retta impropria </span><i><span style="color: #262626;">a</span></i><i><sub><span style="color: #262626;">∞</span></sub></i><span style="font-family: inherit;"> del piano </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;"> </i><span style="font-family: inherit;">.</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Inoltre, rette ortogonali al quadro </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">p </i><span style="font-family: inherit;">avranno l'immagine del punto improprio coincidente con il punto </span><i style="font-family: inherit;">C'</i><span style="font-family: inherit;"> di incontro della perpendicolare per <i>C</i> con il quadro. </span><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyk99rR-2jFV-LdlCw1SoHE3w51arHSENfbX988mJV2_pH7fPb5C_U-QyZWdXhpwvVb2lHTAHj0Q2Cz9oMqoxp0-4iUW59RXP1OZUr0JlltqIQXVc1dkhMwjUCCok803az0kksfKRoBwc/s1600/Proiezione_Centrale_parallelismo_tra_piani_e_piano-retta.gif" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyk99rR-2jFV-LdlCw1SoHE3w51arHSENfbX988mJV2_pH7fPb5C_U-QyZWdXhpwvVb2lHTAHj0Q2Cz9oMqoxp0-4iUW59RXP1OZUr0JlltqIQXVc1dkhMwjUCCok803az0kksfKRoBwc/s320/Proiezione_Centrale_parallelismo_tra_piani_e_piano-retta.gif" width="320" /></a><span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; font-size: x-small;">Questo caso particolare di parallelismo è stato usato dai padri fondatori della <a href="http://descrittiva4.blogspot.it/2008/08/il-ribaltamento-omologico.html">prospettiva centrale</a> e, nel Nord Europa, era chiamato come <i>prospettiva degli italiani</i>. Ghiberti, Brunelleschi, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca ne hanno fatto uso non solo in tante opere pittoriche e scultoree, ma anche in architetture se si pensi che le piante di tanti edifici pubblici, soprattutto le chiese, venivano pensati come <i>prospettiva centrale</i>, e ciò a conferma di fattori religiosi presenti da oltre un millennio nella cultura cristiana relativamente al valore simbolico dell'asse di percorrenza, dalla porta d'ingresso fino all'altare, come un lungo cammino dove l'uomo peccatore si porta al cospetto del Dio, posto nel <i>punto di concorso</i> della prospettiva centrale (punto principale prospettico, in questi disegni indicato con <i>C'</i>).</span><br />
<span style="font-family: inherit;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit;">IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI IN POSIZIONI PARTICOLARI</span><br />
<span style="font-family: inherit;">Rette parallele al quadro </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">p </i><span style="font-family: inherit;"> avranno le immagini tra loro parallele, mentre piani paralleli al quadro </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">p</i><span style="font-family: inherit;">, non avendo elementi rappresentativi propri (perché si trovano all'infinito), possono essere rappresentati solo mediante le rette che ne delimitano una parte (ad es.: un quadrato o un rettangolo); queste rette che ne delimitano una parte, inoltre, dovranno essere rappresentate ciascuna mediante due punti e, ovviamente ciascuno di essi deve essere rappresentato mediante una retta non parallela al quadro.</span>Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-7805374813163106017.post-83902011523809586622002-03-01T00:00:00.005+01:002013-06-16T21:09:29.257+02:00Le proiezioni centrali 3: condizioni di appartenenzaLa condizione di appartenenza nella proiezione centrale si esprime dicendo che:<br />
<b>due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi</b>.<br />
Sviluppiamo questo concetto riferendoci alle ultime due figure del <a href="http://descrittiva1.blogspot.it/2010/12/le-proiezioni-centrali-2.html">post precedente</a>, le figure <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhknof_XwdZ8KUiO2pX4YZT2RP2ZczgpU7fSIuCEwCKPt6W0C1XuT0OAV4lvK32ApF6U_VlXE0ewXTJ-lGoh8bicgYM1Ejcfy1hjDCYa_IYgI-tPw5Rm1wk_BmL3vp_ITKwgevTHuWATlI/s1600/2+%D0%93%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%8F,+%CE%9F%CE%BC%CE%BF%CE%B9%CE%BF%CE%B8%CE%B5%CF%83%CE%AF%CE%B1.jpg">n. 3</a> e <a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOo-kwTF6jmsrDpUhE9cFy718DRCQgZlzx8fITGsnMDv83uS_X9E6o41izt8irj7c9Jobn_xhoYAu1i5s1CTvZZjaN4fU-4QzUSPlLPnkFWkc2vPlEIMVTLAg0hPxAqLAMtM011gpNtDI/s1600/4+Homoth%C3%A9tie,+%D8%AA%D8%AD%D8%A7%D9%83.jpg">n. 4</a>:<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ5N2HlqiCL7YO3JGPyFJSWBuPv561ByTYeWAiV7lYk2umVwiBAhvY_uBo-xzBgWrG9FRekbyEaBjrt6cvQQHizphk10d8mahcSNQAXG4JZXD6Dtmrb9yQoTgbFw-DWkJYRaeosgMaoUQ/s1600/Proiezione.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJ5N2HlqiCL7YO3JGPyFJSWBuPv561ByTYeWAiV7lYk2umVwiBAhvY_uBo-xzBgWrG9FRekbyEaBjrt6cvQQHizphk10d8mahcSNQAXG4JZXD6Dtmrb9yQoTgbFw-DWkJYRaeosgMaoUQ/s200/Proiezione.jpg" width="133" /></a>a) una retta <i>r </i>appartiene ad un piano <i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a </i>se i suoi elementi rappresentativi stanno su quelli omonimi del piano, ovvero se <i>Tr</i> appartiene a <i>t</i><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i> e <i>F'r</i> appartiene a <i>f'</i><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="line-height: 19px;"><span style="font-family: inherit;">; </span></span><br />
<span style="line-height: 19px;"><span style="font-family: inherit;">b) un piano </span></span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;"> passa per una retta <i>r</i> se ... vale l'inverso di quanto detto in a); </span><br />
<span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">c) un punto <i>P</i> appartiene ad una retta <i>r</i> se la sua proiezione <i>P'</i> appartiene alla proiezione <i>r'</i> della retta <i>r</i>;</span><br />
<span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">d) un punto <i>P</i> appartiene ad un piano </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;"> </span><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">se il punto <i>P</i> sta su una retta che appartiene al piano </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;"> </span><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">. La retta, in questo caso, rende possibile la verifica se il punto <i>P</i> sta sul piano </span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">, in quanto il punto <i>P</i> ha come elemento rappresentativo una proiezione, <i>P'</i>, mentre il piano ha come elementi rappresentativi due rette, <i>t</i></span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;"> e <i>f'</i></span><i style="font-family: Symbol; line-height: 19px;">a</i><span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">, che sono di genere diverso da quello dell'immagine del punto.</span><br />
<span style="font-family: inherit; line-height: 19px;"><br /></span>
<span style="font-family: inherit; line-height: 19px;">Nella figura, è evidente che la pianta del piede della simpatica signorina non <i>sta su</i> (= <i>appartiene</i>) la superficie della Torre di Pisa. Ma se non sapessimo, per esperienza diretta, quanto è grande quella torre allora potremmo pure credere all'effetto voluto dal simpatico fotografo (da <a href="http://lolloso.it/effetto-ottico-torre-di-pisa">questo sito web</a>).</span><br />
<br />Fausto Baioccohttp://www.blogger.com/profile/14122041283483811547noreply@blogger.com