Richiami di geometria elementare dello spazio

a) Parallelismo1) Condizione necessaria e sufficiente affinché una retta sia parallela ad un piano è che sia parallela a una retta contenuta nel piano.
2) Per un punto P si può condurre un solo piano parallelo ad un piano dato alfa: esso è il luogo delle rette passanti per P e parallele al piano alfa.
3) Se due piani sono paralleli, un terzo piano che interseca il primo, interseca anche il secondo.
4) Se due piani alfa e beta sono paralleli rispettivamente ad altri due piani gamma e a delta, la retta comune ad alfa e a beta è parallela alla retta comune a gamma e a delta.

b) Angolo tra due rette
1) L'angolo tra due rette incidenti è misurato sul loro piano di giacenza.
2) Se le rette sono sghembe, allora per loro angolo si intende quello formato dalle parallele ad esse condotte per un punto qualsiasi.

c) Perpendicolarità tra piano e retta
1)Una retta è perpendicolare ad un piano quando è perpendicolare ad almeno due rette contenute nel piano.
2) Per un punto si può condurre una sola retta perpendicolare ad un piano dato.
3) Per un punto si può condurre un solo piano perpendicolare ad una retta data.
4) Per un punto passano infinite rette perpendicolari ad una retta data: esse sono tutte le rette passanti per il punto e appartenenti a quel piano per esso che è perpendicolare alla retta data.
5) Una retta a sia perpendicolare e incidente alla retta b, e questa sia perpendicolare e incidente alla retta c: se la retta a è perpendicolare al piano formato da b e c, allora segue che c è perpendicolare al piano formato da a e da b (teorema delle tre perpendicolari).

d) Perpendicolarità tra piani
1) Un piano è perpendicolare ad un altro piano se contiene una retta perpendicolare a questo.
2) Per una retta non perpendicolare ad un piano si può condurre un solo piano perpendicolare ad esso: viene individuato dalla retta data e dalla retta perpendicolare al piano dato condotta da un suo punto.
3) La proiezione ortogonale su un piano alfa di una retta non perpendicolare ad esso, è la retta di intersezione tra alfa e il piano passante per la retta condotto perpendicolarmente ad alfa.

e) Distanze
1) La distanza di un punto da un piano, o da una retta, si misura sulla perpendicolare dal punto al piano, o alla retta data.
2) La distanza di due piani paralleli si misura sulla perpendicolare ad essi.
3) La distanza minima tra due rette sghembe è la distanza tra i piani condotti per ciascuna di esse e paralleli all'altra retta.

f) Pependicolare a due rette sghembe
Vi è una sola retta perpendicolare e incidente a due rette sghembe: considerato un piano alfa parallelo ad entrambe, e condotto un piano per ciascuna retta pependicolamente ad alfa, la distanza va cercata sulla retta di intersezione dei due piani.

g) Angoli
1) L'angolo tra un piano ed una retta non perpendicolare ad esso è l'angolo formato tra la retta e la sua proiezione ortogonale al piano.
2) L'angolo tra due piani si misura tra le rette di intersezioni di questi con un terzo piano condotto perpendicolarmente alla loro retta comune.

Vedi la convenzione sull'uso dei simboli.
Links utili per completare e approfondire (con molte figure):
Rette e piani nello spazio euclideo,
Angoli.

Per una lettura veramente affascinante, a metà tra la storia e il brivido di riscoprire nozioni apprese nell'infanzia, si consiglia, per questo post, la lettura dei capitoli da 1 a 5 del libro di Piergiorgio Odifreddi C'è spazio per tutti, Mondadori 2010. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E il suo sito di presentazione dei suoi libri.
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