Quando nella geometria proiettiva si parla di punto si deve intendere, senza differenza, sia il punto proprio che quello improprio e altrettanto si deve intendere della retta e del piano.
Con l'aggiunta degli enti impropri ci si svincola dalle questioni metriche della geometria elementare, cioè dalla misura di lunghezze e di angoli, seppure esse possono venire trattate anche nella geometria proiettiva.
La geometria elementare, infatti, è in grado di affrontare tutte le questioni metriche con il confronto tra figure, o che siano uguali, cioè della stessa grandezza, o simili, cioè di grandezza diversa ma della stessa forma, ma non riesce a dare spiegazioni quando, ad esempio, gli angoli non si conservano uguali, compito riservato alla geometria affine, né quando il parallelismo non viene conservato, compito affrontato dalla geometria proiettiva.
Il punto non ha dimensione, cioè non può essere diviso in parti (la definizione è di Euclide).
Il punto improprio, detto anche all'infinito, indica la direzione della retta alla quale appartiene e anche di tutte le altre rette parallele a questa.
Per il fatto che si trova all'infinito non può essere disegnato, ma può essere solo indicato sul foglio da disegno mediante una direzione (un corto segmento con ambo gli estremi a forma di freccia).
La retta ha una sola dimensione, la lunghezza. E' costituita da infiniti punti. E' la linea più corta tra due punti. Si può immaginare come una cordicella tesa, e la si ottiene prolungando il segmento compreso tra questi due punti (confronta i postulati 1 e 2 di Euclide). Si può visualizzare una retta anche prendendo un foglio di carta e piegandolo su se stesso: l'incontro tra le due parti di piano è appunto un segmento che, se prolungato indefinitamente da ambo i lati, fornisce l'idea geometrica della retta (1).La retta impropria. Poiché la retta è caratterizzata soprattutto dalla direzione, e poiché il punto improprio della retta è la sua direzione se ne deduce che tale punto improprio deve essere unico, sia che si percorra la retta verso destra che verso sinistra, ricongiungendosi all'infinito. In questa accezione la retta proiettiva assume la forma di una circonferenza di raggio infinito.
La retta impropria è costituita di infiniti punti impropri che indicano la direzione di tutte le rette di un piano e, pertanto, non può essere disegnata sul foglio da disegno. La retta impropria definisce la giacitura del piano al quale appartiene e di tutti i piani paralleli a questo.
Per dividere la retta proiettiva in due parti occorrono due tagli, e si avranno due segmenti, uno di lunghezza finita e l'altro di lunghezza infinita poiché contiene il punto improprio. Contrariamente, per dividere la retta euclidea in due parti è sufficiente un solo taglio, e si avranno due semirette, entrambe di lunghezza infinita.
Il piano ha due dimensioni. E' costituito da infiniti punti e da infinite rette. Si può immaginare come la superficie dell'acqua ferma in una bacinella (confronta il postulato 3 di Euclide).Il piano improprio è costituito dalle rette improprie di tutti i piani dello spazio. In analogia con quanto detto per la retta impropria, esso può essere immaginato come la superficie di una sfera di raggio infinito e, pertanto, la sua superficie coincide con le estremità dello spazio il quale, beninteso, non ha limiti.
Lo spazio ha tre dimensioni. E' costituito da tutti i punti, le rette e i piani, sia nella forma propria che nella forma impropria.
Il punto improprio è stato introdotto da G. Desargues nel 1639, mentre la retta impropria e il piano improprio sono stati introdotti da J.V. Poncelet nel 1822 (2).
Esiste lo spazio a 4 dimensioni? Gino Loria (1862-1954) ha scritto interessanti osservazioni nel 1907.
Sulla questione dell'infinito vedi anche questo post interno a carattere logico-filosofico.
L'Infinito di Giacomo Leopardi (1798-1837) manoscritto nel 1819 formato wallpaper, recitato da Claudio Carini (clicca "Testo" in alto a sinistra per accedere al file Mp3).
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(1) L'origami, ovvero l'arte di piegare la carta, antica tecnica giapponese, ma anche cinese e araba, è basata su un sistema di assiomi, detto di Huzita-Hatori che fondamentalmente ricalca quello della geometria euclidea (per approfondimenti vedi Link 1 e Link 2, entrambi in lingua portoghese).
(2) Cfr. Guido Castelnuovo, Lezioni di ... proiettiva, pag. 7 e anche Federigo Enriques, ... , Appendice p. 393.
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