Da un enunciato di geometria proiettiva se ne può ricavare un altro, detto duale, e l'operazione consiste nello scambiare il nome di due enti geometrici fondamentali all'interno di un enunciato, lasciando invariato il nome dell'eventuale terzo ente geometrico.
Nello spazio
Ad ogni teorema di geometria proiettiva ne è associato un altro, detto duale, il cui enunciato si ricava da quello del primo scambiando tra loro la parola punto con la parola piano, e conservando la parola retta.
Nella stella
Ad ogni teorema di geometria proiettiva ne è associato un altro, detto duale, il cui enunciato si ricava da quello del primo scambiando tra loro la parola piano con la parola retta, e conservando la parola punto.
Nel piano
Ad ogni teorema di geometria proiettiva ne è associato un altro, detto duale, il cui enunciato si ottiene da quello del primo scambiando tra loro la parola punto con la parola retta.
Osservazione
Qualora il senso linguistico dell'enunciato duale del primo fosse incomprensibile, occorre adattare le espressioni avendo riguardo principalmente all'aspetto geometrico e facendo in modo tale che la lettura risulti significante e aderente al senso geometrico.
Storia del principio di dualità
Il Principio di dualità, formulato nel 1819 dal matematico francese J.D. Gergonne (1771-1859), è il risultato di una catena di scoperte che inizia con Desargues.
1648 - G. Desargues (1591-1661) nel suo Teorema dei triangoli omologici afferma che "due triangoli in prospettiva hanno le intersezioni dei lati corrispondenti collineari" cioè, riletto con il principio di dualità, "se le coppie di vertici corrispondenti di due triangoli sono allineate con un centro (punto di vista prospettico), allora i lati corrispondenti si incontrano su una retta".
(?) - B. Pascal (1623-1662) nel suo Teorema dell'esagono inscritto ad una conica, afferma che "in un esagono inscritto in una conica, i tre punti di intersezione delle coppie di lati opposti sono allineati".
1806 - C.J. Brinchon (1786-1864) formula il Teorema dell'esagono circostritto ad una conica, affermando "in un esagono circoscritto ad una conica, le tre diagonali principali si incontrano in un punto".
(1818) - J.V. Poncelet (1788-1867) fa osservare che la relazione di dualità è insita nella relazione tra polo e polare di una conica, relazione della quale si è occupato lungamente nel suo trattato, poi pubblicato nel 1822. A proposito della dualità, Poncelet e Gergonne avranno negli anni seguenti uno strascico di polemiche e di repliche pubblicate sulle riviste scientifiche (1).
La relazione di dualità, infine, verrà svincolata dalle questioni metriche, che all'epoca ancora erano mescolate con quelle proiettive, da K.G.C. Von Staudt (1798-1867) nel 1847, e da J. Plucker (1801-1868).
A Gergonne si deve anche l'uso della nozione di “definizione implicita”, che servirà a spiegare il tipo di definizione offerta dai sistemi di postulati. Secondo Enriques “la teoria della definizione implicita d’un sistema di concetti per mezzo di un sistema di proposizioni è divenuta essenziale per la logica contemporanea. Ma essa non avrebbe potuto apparire nella luce in cui oggi la vediamo, se non risultasse chiarita da quel principio generale di sostituibilità dei concetti, che ha il suo germe nel principio di dualità della geometria proiettiva”. Il principio di sostituibilità dei concetti rende possibili diverse interpretazioni per uno stesso sistema di assiomi (2).
Esempi
Esempio nel piano
- due punti danno luogo ad una retta
- due rette danno luogo ad un punto
Esempio nello spazio
I poliedri regolari, cioè quelli con le facce costituite da poligoni tutti uguali, sono solo 5 e vengono anche detti "solidi platonici", in onore del filosofo greco Platone (427 a.C.-347 a.C.).
Essi sono a due a due duali: il cubo è duale dell'ottaedro e il dodecaedro è duale dell'icosaedro, mentre in tetraedro è duale di se stesso.
Nella seconda figura del post sui poliedri si nota come al numero di vertici (che sono punti) di un poliedro corrisponda nel poliedro a lui duale lo stesso numero di facce (che sono piani) e viceversa, mentre gli spigoli (che sono rette) sono nella stessa quantità.
Nella terza figura del post si nota che è possibile inscrivere un poliedro dentro al suo duale, essendo sufficiente posizionare i vertici del primo al centro delle facce del secondo.
Esempio di due teoremi dualiDalla figura si evidenzia che il Teorema di Pascal e quello di Brianchon sono duali.
Formulati come nella figura non è evidente, ma riscritti in questo modo la dualità appare chiara:
Pascal: data una conica, presi sei punti appartenenti ad essa, e disegnato l'esagono inscritto nella conica (cioè costruite le rette che li congiungono a due a due consecutivamente), i lati opposti si incontrano su una retta.
Brianchon: data una conica, prese sei rette ad essa tangenti, e disegnate le diagonali principali dell'esagono corcoscritto alla conica, esse si incontrano in un punto.
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Per approfondire (htm e Pdf)
Per alleggerire la giornata (Lolli e altri).
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Note
1 - Vedi, ad esempio, Gergonne in Annales de Mathematique, tomo 18 (1827-28) pag. 125, e Poncelet sullo stesso tomo pp. 126-142.
2 - Periodo riassunto da: Lolli Gabriele, Momenti di svolta nello sviluppo del pensiero matematico - La scoperta del metodo assiomatico: Euclide, Hilbert, Godel, Lezioni di Modena, ottobre-dicembre 2006, § 1.1.
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