Rapporto semplice di tre punti (tre elementi della prima specie)
Il rapporto semplice di tre punti A, B e C di una retta orientata è definito come il rapporto delle misure dei due segmenti AC e BC e si indica (ABC)=AC/BC.
Il verso che va da A a C e quello che va da B a C determinano il segno della misura dei due segmenti coerentemente con l'orientamento della retta e, pertanto, il rapporto è un numero dotato di segno e può essere positivo o negativo a seconda dei segni del numeratore e del denominatore della frazione.
Se il punto C si trova internamente al segmento AB, allora il rapporto risulta negativo in quanto il segmento BC è negativo, cioè va in senso contrario al verso della retta, mentre se i tre punti sono in successione il rapporto è positivo.
Se A è il punto improprio della retta si ha: (A∞BC) = ± ∞
Se B è il punto improprio della retta si ha: (AB∞C) = 0.
Se C è il punto improprio della retta si ha: (ABC∞) = + 1.
Se C è il punto medio di AB si ha: (ABC) = - 1.
Se C ≡ A si ha: (ABA) = 0.
Se B ≡ C si ha : (ABB) = ± ∞.
Due punti A e B dividono la retta AB in due segmenti: uno finito (AB) e l'altro infinito (B∞A).
In generale (ABC) > 0 se C appartiene al segmento infinito e (ABC) < 0 se C appartiene al segmento finito.
Rapporto semplice di tre rette (tre elementi della prima specie)
Il rapporto semplice di tre rette a, b e c di un fascio orientato è definito come il rapporto dell'ampiezza degli angoli ac e ab e si indica (abc) = ac/ab, oppure (abc) = sen ac / sen bc.
Per il verso dell'orientamento del fascio valgono le stesse considerazioni fatte per il rapporto di tre punti.
Rapporto semplice di tre piani (tre elementi della prima specie)
Il rapporto semplice di tre piani a, b e g , appartenenti ad un fascio proprio e orientato è definito con l'espressione: (abg) = sen ag / sen bg .
Birapporto di quattro puntiConsideriamo quattro punti A, B, C e D su una retta orientata. Il birapporto di essi è definito come il rapporto dei due rapporti semplici (ABC) e (ABD) e si indica (ABCD)=(ABC)/(ABD).
Il birapporto è un numero positivo o negativo, e il suo segno è conseguenza dei segni dei due rapporti semplici che lo costituiscono.
Birapporto di quattro rette
Anche in questo caso valgono le considerazioni di cui sopra.
Carattere proiettivo del birapporto
Il birapporto gode della seguente proprietà fondamentale per la geometria proiettiva:
Il birapporto di quattro rette a, b, c e d di un fascio orientato è uguale al birapporto dei quattro punti A, B, C e D in cui le quattro rette suddette incontrano una retta trasversale r non passante per il centro del fascio.
Inoltre, se costruisco un altro fascio, le quattro rette che passano per i quattro punti A, B, C e D della retta r hanno il medesimo birapporto.
Gruppi armonici
Quattro punti di una retta, o quattro rette di un fascio formano un gruppo (quaterna) detto armonico quando il loro birapporto è uguale a -1.
Proprietà proiettive delle figure
La geometria proiettiva studia le proprietà proiettive delle figure (sia nel piano che nello spazio), cioè quelle proprietà delle figure che si conservano quando la figura stessa viene proiettata e poi il fascio di rette viene sezionato da una retta se ci troviamo nel piano, oppure se ci troviamo nello spazio la stella di rette viene sezionata con un piano.
La geometria proiettiva non prende in considerazione le proprietà grafiche delle figure che sono quelle che dipendono dalla misura o dal parallelismo, come la lunghezza di segmenti (segmenti uguali, oppure segmenti proporzionali tra loro) o l'ampiezza di angoli.
La condizione che 3 punti siano allineati, oppure che 3 rette passino per un medesimo punto, ad esempio, sono proprietà proiettive (che si conservano per proiezione e sezione).
Anche il birapporto, come detto sopra, è una proprietà proiettiva. Vedremo nel post dell'omologia che, ad esempio, il birapporto dei quattro punti seguenti non cambia: i due punti omologhi, il centro di omologia e il punto di intersezione della retta che li contiene con l'asse di omologia.
____________________________________________
Maggiori approfondimenti sul birapporto: Nazario Magnarelli, Sulle proposizioni 138 e 139 del libro VII della "Collezione Matematica" di Pappo, in matematicamente.it.
