Al termine di un corso degli studi, dalla scuola elementare alla scuola media e alle scuole superiori, nonché in alcuni corsi universitari, ci si rende conto che si sono studiate diverse geometrie che prendono nomi appropriati anche se un pò strani: la geometria dell'uguaglianza, la geometria della congruenza, la geometria dell'affinità, la geometria proiettiva.
Anche se sembrano seguire procedimenti e metodi di studio diversi tra loro, c'è un principio generale che le accomuna, e cioè il principio di "proiezione e sezione". Cioè tutte queste geometrie, che vedremo come si ricavino le une dalle altre fissando come invariante qualche caratteristica (leggi: proprietà) particolare, possono essere ricomprese nella geometria più complessa tra di esse che è la geometria proiettiva, la quale, proprio per il fatto di avere meno invarianti (che sarebbe a dire "paletti", cioè meno limitazioni), è una geometria più libera, che consente di affrontare più situazioni diverse e, proprio per questo, è più complessa delle altre e le ricomprende, all'interno dei suoi principi, tutte quante.
"PROIEZIONE E SEZIONE"
Così facendo, però, non abbiamo costruito alcuna figura in nessun luogo, mentre per noi è essenziale poter "vedere" il risultato di questa proiezione. Per fare un esempio è come se io proiettassi di notte un film sulla spiaggia in direzione del mare senza aver posto uno schermo ad una certa distanza dove poter vedere le immagini filmiche. La proiezione esisterebbe in ogni caso, ma io non vedrei assolutamente alcuna immagine se non, forse, un po' di chiarore indefinito.
L'operazione di porre uno schermo ad una certa distanza dal proiettore si chiama "sezione", come possiamo leggere nella seconda parte dello stesso post di prima, in quanto lo schermo taglia tutti i raggi luminosi e consente la visione di immagini provenienti dal proiettore stesso su quello schermo.
ELEMENTI DI UNA OPERAZIONE CONGIUNTA DI "PROIEZIONE E SEZIONE"
A questo punto è evidente che una operazione congiunta di "proiezione e sezione" è costituita da alcuni elementi che occorre prendere in considerazione:1) il centro di proiezione, dal quale partono tutti i raggi proiettanti (nell'esempio filmico è il centro della lampadina del proiettore cinematografico quando questo è in funzione);
2) la figura da proiettare che sarà costituita da una porzione del piano che la contiene (nell'esempio filmico è il singolo fotogramma della pellicola cinematografica che entra nell'apposito alloggiamento e si posiziona davanti alla finestrella in cui passerà la luce);
3) il piano su cui viene proiettata la figura (nell'esempio filmico è lo schermo su cui giungeranno le immagini).
Quanto detto sopra viene espresso sinteticamente come "prospettività", ovvero: rispetto al centro di proiezione, i due piani in considerazione (quello su cui si trova la figura da proiettare e quello sul quale la figura verrà proiettata) sono prospettivi tra loro, e questo significa che ogni punto del piano della figura da proiettare verrà mandato in un punto preciso del piano che dovrà accogliere la proiezione.
Detto in modo più rigoroso, la prospettività tra due piani proiettati (leggi anche: visti) da un centro di proiezione (centro di prospettività) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei punti dell'uno e l'insieme dei punti dell'altro.
CONSIDERAZIONI SUGLI ELEMENTI DELLA OPERAZIONE CONGIUNTA DI "PROIEZIONE E SEZIONE"
Le quattro geometrie richiamate nell'introduzione, e cioè la geometria dell'uguaglianza, la geometria della congruenza (detta anche della similitudine) (*), la geometria affine e la geometria proiettiva hanno origine dalla diversa disposizione nello spazio dei tre elementi descritti sopra.Gli elementi che distinguono le quattro geometrie sono due:
1) la posizione del centro di proiezione rispetto alla figura da proiettare, che si distingue in due casi:
1a) se è un punto improprio, cioè si trova a distanza infinita dalla figura da proiettare, si parla di proiezione parallela. In essa i raggi proiettanti sono paralleli tra loro, come avviene per i raggi luminosi provenienti dal sole che, notoriamente, si trova ad una grandissima distanza rispetto alle misure con cui trattiamo noi di solito, siano esse le misure di oggetti d'uso oppure le più grandi misure di edifici anche molto alti come i grattacieli.
1b) se è un punto proprio, cioè a distanza finita dalla figura da proiettare si parla di proiezione centrale. I raggi proiettanti escono tutti dal centro di proiezione, ovvero vi convergono. Una delle applicazioni di tale disposizione, forse la più nota, è la prospettiva;2) la posizione reciproca dei due piani in questione, e cioè il piano su cui sta la figura che dobbiamo proiettare e il piano su cui giungerà la proiezione. Vi sono solo due possibilità di posizione reciproca:
2a) i due piani sono paralleli tra loro. In questo caso non avranno una retta comune o, meglio, tale retta esiste ma si trova all'infinito;
2b) i due piani non sono paralleli tra loro. In questo caso avranno una retta di incontro propria, cioè a distanza finita e, in più, formeranno tra loro un angolo di una certa ampiezza.
GENERAZIONE PROIETTIVA DELLE GEOMETRIE
Da quanto detto al § precedente ci rendiamo conto che abbiamo solo quattro possibilità di combinare tra loro, a due a due, le quattro situazioni di posizione di cui sopra:
A) Il centro di proiezione è improprio (caso 1a) e i due piani sono paralleli tra loro (caso 2a). In questo caso si ha la geometria dell'uguaglianza, nella quale la proiezione della figura (dal piano su cui si trova al piano su cui viene proiettata) genera una figura identica sia nella forma sia nelle dimensioni.
B) Il centro di proiezione è proprio (caso 1b) e i due piani sono paralleli tra loro (caso 2a). In questo caso si ha la geometria della congruenza, nella quale la figura proiettata ha la stessa forma di quella iniziale, cioè l'ampiezza degli angoli è identica, ma le dimensioni delle lunghezze sono diverse, ma tutte ordinatamente proporzionali tra loro di uno stesso fattore di proporzionalità. Per tale motivo la si indica anche come geometria della similitudine.
C) Il centro di proiezione è improprio (caso 1a) e i due piani non sono paralleli tra loro (caso 2b). In questo caso si ha la geometria dell'affinità, nella quale la figura iniziale e quella proiettata sono diverse tra loro: gli angoli delle due figure non sono uguali tra loro, né lo sono le lunghezze dei lati. Tuttavia se, ad esempio, la lunghezza di un lato della figura iniziale era di 10 cm e quello della figura finale risulta essersi trasformato diventando della lunghezza di 15 cm, allora vuol dire che c'è stato un rapporto pari a 3/2 tra la figura proiettata e quella originaria, rapporto che verrà conservato per tutti gli altri lati ad essi paralleli. Tale proprietà di proporzionalità interessa anche l'ampiezza degli angoli purché abbiano i lati paralleli tra loro.D) Il centro di proiezione è proprio (caso 1b) e i due piani non sono paralleli tra loro (caso 2b). In questo caso si ha la geometria della proiettività, dove non viene conservata nemmeno la proporzionalità tra le lunghezze o quella tra l'ampiezza degli angoli, come nel caso dell'affinità. Tuttavia viene conservato il birapporto di quattro punti qualsiasi appartenenti ad una retta o il birapporto dell'ampiezza di quattro angoli qualsiasi con il vertice nello stesso punto.
Le caratteristiche proiettive delle quattro geometrie sono sintetizzate nella tabella. Essa riproduce con diversa disposizione lo schema grafico che era stato inserito in questo post, il quale tratta l'argomento in modo più rigoroso e completo nell'ambito della geometria proiettiva, mentre qui ci si limita a considerazioni intuitive.
IL CASO "A" - GEOMETRIA DELL'UGUAGLIANZA
La figura 1 è relativa al caso dell'uguaglianza (indicata nella tabella con la lettera "A", piani paralleli e centro di proiezione improprio, cioè all'infinito), nella quale vengono conservati sia le ampiezze degli angoli sia le lunghezze dei segmenti. Infatti, la figura ABCD che si trova sul piano sigma viene proiettata dal centro di proiezione improprio S∞ sul piano pigreco e si ottiene la figura A'B'C'D' che è identica in tutto alla figura iniziale, e pertanto non subisce alcuna deformazione o ingrandimento. Se potessimo spostare il piano sigma fino a farlo aderire per sovrapposizione al piano pigreco vedremmo come le due figure siano esattamente uguali e indistinguibili.Occorre precisare che non ha alcuna importanza la direzione del centro di proiezione improprio S∞ per ottenere il risultato che le due figure risultino uguali: infatti, cambiando la direzione ma mantenendo sempre paralleli tra loro i raggi proiettanti avremo lo stesso risultato, salvo il caso che questa direzione venga presa parallelamente al piano sigma, poiché allora non avremmo alcuna proiezione sul piano pigreco o, meglio, l'avremmo lo stesso ma all'infinito e non potremmo disegnarla, ma solo indicarla con una annotazione scritta sul disegno.
Aggiungo che, cambiando la direzione di proiezione, ottengo lo stesso una figura uguale a quella di partenza ma posizionata in una porzione diversa del piano pigreco.
IL CASO "B" - GEOMETRIA DELLA SIMILITUDINE (o Geometria dell'omotetia)
Si riporta la figura 2 del caso della similitudine (indicata nella tabella con la lettera "B", piani paralleli e centro di proiezione proprio, cioè a distanza finita), nella quale si vede la figura ABCD, appartenente al piano sigma, che viene proiettata dal centro di proiezione S sul piano pigreco nella figura A'B'C'D': le due figure sono simili, cioè gli angoli non sono cambiati, ma sono cambiate solo le lunghezze dei lati e, tuttavia, il rapporto tra due lunghezze, ad esempio di due lati contigui, rimane invariato.Infatti, se il rapporto AB/BC=1,2, ad esempio, allora il rapporto A'B'/C'D'=1,2 e ciò ci assicura che trattasi di similitudine e, analogamente, se il rapporto AB/A'B'=0,6, ad esempio, allora il rapporto BC/B'C'=0,6. Quest'ultimo rapporto viene chiamato "rapporto di ingrandimento o riduzione" tra le due figure, e viene detto anche "costante di omotetia" che vale anche SA/SA' (vedi anche il post). Tale rapporto di omotetia è un fattore di scala impiegato nella cartografia e nei disegni tecnici: quando si dice che un certo disegno è in scala, ad esempio, di 1/100 (e indicato con R. 1/100) si intende che la figura disegnata è grande "un centesimo" della figura reale (ad esempio, la piantina concreta di una casa) e, per memorizzare meglio, si dice che un metro, misurato al vero sulla casa, viene rappresentato nel disegno con un segmento lungo un centimetro (infatti, il rapporto tra le due unità di misura, metro e centimetro, è proprio 100).
IL CASO "C" - GEOMETRIA DELL'AFFINITA' (o Geometria affine)
La figura 3 illustra il caso dell'affinità (caso "C" della tabella, con piani non paralleli tra loro e centro di proiezione improprio, ovvero all'infinito): si vede la figura ABCD sul piano sigma che viene trasformata nella figura A'B'C'B' sul piano pigreco.Le due figure sono affini, ovvero le ampiezze degli angoli vengono cambiate e così anche le lunghezze dei lati, così come viene cambiato il rapporto tra le lunghezze di lati contigui, mentre viene conservato il rapporto tra lati paralleli, che è l'unica caratteristica che rimane invariata.
Infatti, se il rapporto AD/BC=1, ad esempio, allora anche il rapporto A'D'/B'C'=1 e altrettanto vale per l'altra coppia di lati paralleli: se AB/CD=1, allora A'B'/C'D'=1.
Possiamo osservare, inoltre, che rette parallele alla retta di incontro dei due piani sigma e pigreco, come ad esempio le rette AD e BC del piano sigma, si conservano parallele a tale retta anche dopo la proiezione sul piano pigreco (tale circostanza si verifica anche per il caso "C", che verrà esposto qui sotto). Avendo introdotto il concetto di punto improprio o punto all'infinito possiamo sinteticamente dire che le rette AD, BC, A'D', B'C' si incontrano all'infinito sulla retta comune ai piani sigma e pigreco.
IL CASO "D" - GEOMETRIA DELLA PROIETTIVITA' (o Geometria proiettiva)
Nella figura 4 è illustrato il caso della proiettività (caso "D" della tabella, con piani non paralleli tra loro e centro di proiezione proprio, cioè al finito): la figura ABCD che si trova sul piano sigma viene proiettata dal centro di proiezione S nella figura A'B'C'D' sul piano pigreco.Le due figure sono prospettive tra loro se vengono guardate dal punto di vista S che, essendo proprio, produce una deformazione rilevante della figura iniziale, tanto che non si conserva nemmeno il parallelismo e nemmeno il rapporto tra lati.
E, tuttavia, c'è ancora qualcosa che si conserva tra le due figure, e questo invariante è il birapporto, sia quello di quattro punti su una medesima retta, sia quello di quattro rette convergenti in un punto (per ora non approfondiremo la nozione di birapporto, essendo l'invariante caratteristico della geometria della proiettività e verrà trattato nell'ambito della geometria proiettiva).
Qui, occorre ricordare che nell'ambito della geometria proiettiva la nozione di parallelismo (due rette non si incontrano) viene trasformata nel senso che due rette si incontrano sempre, o in un punto proprio o in un punto improprio. Per il punto, infatti, non si fa più alcuna differenza se è proprio o all'infinito, e ciò rende questa geometria più elastica delle altre (leggi: meno paletti, ovvero meno invarianti) nell'affrontare i problemi geometrici, anche se è più complessa.
Preleva la figura stampabile delle quattro geometrie.
LA GENERAZIONE DELLE GEOMETRIE IN UN ESEMPIO CONCRETO OSSERVABILE NEI LUOGHI CHE FREQUENTIAMOVedi il post che illustra (con 9 figure munite di didascalie che devono essere lette) esempi relativi alla generazione di geometrie prendendo spunto dalle situazioni che si generano in una stanza con finestra per effetto della diversa sorgente luminosa esterna:
1) di notte si ha l'effetto ombra sul pavimento, o sulla parete di fronte alla finestra, o sul soffitto a causa di un faretto o lampione esterni alla stanza - centro di proiezione proprio, cioè posto ad una distanza finita - che da luogo alla geometria della proiettività o alla geometria della similitudine;
2) di giorno si ha l'effetto ombra a causa del sole - centro di proiezione improprio, cioè posto all'infinito - che genera la geometria dell'affinità o la geometria dell'uguaglianza.
FELIX KLEIN e le sue CONSIDERAZIONI COMPARATIVE SULLE RECENTI RICERCHE GEOMETRICHE, o PROGRAMMA DI ERLANGEN
Si è cercato di illustrare con questo post l'unificazione delle geometrie operata da Felix Klein (1849-1925) nel meglio conosciuto Programma di Erlangen (ottobre 1872) [(traduzione dal tedesco all'italiano di Antonello Sciacchitano), (su Wikipedia in francese)], il quale va ben oltre la geometria proiettiva (alla quale qui ci fermiamo) ed estende le sue considerazioni alle nuove geometrie nel frattempo apparse nel panorama della matematica, come le geometrie non euclidee.
Klein mostra come le geometrie riguardino le trasformazioni geometriche, le quali possono essere considerate dei gruppi sottoposti a invarianti: ogni volta che si rimuove un invariante caratteristico di quella geometria si entra nella geometria successiva la quale, ovviamente, contiene anche quella precedente.
Così, la geometria elementare (uguaglianza e similitudine, meglio nota come geometria euclidea) ha come invariante la conservazione dell'ampiezza degli angoli tra due rette di una figura; rimuovendo tale invariante si entra nella geometria dell'affinità (vedi anche) che ha come invariante la conservazione del rapporto tra la distanza di due punti; rimuovendo tale invariante si entra nella geometria della proiettività che ha come invariante il birapporto.
La questione viene meglio inquadrata nella Teoria degli insiemi (vedi questo sito e anche questo), come fa la figura accanto, tratta da questa pagina del sito web relativo al Liceo Vittorio Veneto di Milano.
Approfondimenti analitici nel campo dei numeri complessi sono illustrati in questa pagina Wikipedia, suggeritami da Piergiorgio Odifreddi il 16-06-2012.
Altri scritti sull'argomento: (1), (2), (3), (4), (5).
Per andare ancora oltre è interessante la lettura di: Gino Fano, Geometria non euclidea, Introduzione geometrica alla teoria della relatività, Zanichelli, 1935, dal contenuto matematico di livello universitario.
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(*) La geometria dell'uguaglianza e quella della similitudine vengono anche chiamate congiuntamente geometria elementare, in quanto sono state studiate da Euclide nel IV-III Sec. a.C. e illustrate nel suo libro Elementi di geometria, e formano oggetto di studio dei primi anni delle scuole (download degli Elementi di geometria, in versione italiana tradotta dal latino da Niccolò Fontana detto Tartaglia e pubblicata a stampa nel 1543 a Venezia).
