Riguardo alle trasformazioni geometriche occorre fare due precisazioni prima di trattarle e cioè, detto brevemente, 1) che esiste una differenza tra il pensiero e il disegno di una figura ed è costituita dall'approssimazione grafica per il disegno alla quale fanno da contrappunto il rigore e la correttezza per il pensiero e 2) che nella geometria non interviene il fattore tempo, in quanto caratteristico della scienza fisica.Introduzione alle trasformazioni
La trasformazione di una figura può essere eseguita variando molte, oppure poche, delle sue caratteristiche: in quest'ultimo caso riconosceremo esattamente la figura di partenza, mentre nel primo caso dovremmo guardarla con molta attenzione per riconoscere che la figura trasformata deriva proprio da quella iniziale.
Le caratteristiche con cui si può descrivere una figura sono, ad esempio, la forma, la grandezza, l'ordine con cui sono disposti i suoi punti più importanti, ecc.. In una trasformazione avremo che alcune caratteristiche della figura presa in esame sono cambiate, mentre altre caratteristiche no: in quest'ultimo caso si dice che quella caratteristica è un invariante rispetto a "quella" trasformazione.
Se, ad esempio, sposto un foglio di carta sul mio tavolo, al termine di questa traslazione l'unica cosa che sarà cambiata è la posizione del foglio, mentre la sua forma e la sua grandezza sono rimaste invariate e, quindi, posso dire che la forma e la grandezza sono caratteristiche invarianti rispetto alla trasformazione mediante traslazione.
Supponiamo, invece, di tagliare quel foglio in 4 porzioni dividendo in due ciascun lato, e di posizionarne una sullo stesso tavolo ad una certa distanza da dove si trovava inizialmente il foglio intero: in questo caso posso dire che oltre alla posizione è cambiata anche la grandezza, mentre non è cambiata la forma. Infatti, se prima era un certo rettangolo, ad esempio di lati cm 20 e 30, ora sarà sempre un rettangolo ma di lati cm 10 e 15, cioè sarebbe come se la figura si fosse rimpiccolita uniformemente.
Se quella porzione di foglio che ho spostato l'avessi anche ruotata allora potrei dire che, oltre alla posizione e alla grandezza, è cambiato anche l'orientamento, in quanto i lati di questa non sono più paralleli a lati corrispondenti della figura iniziale.
E' possibile eseguire anche una combinazione di trasformazioni e, osservando una figura trasformata, non è possibile sapere se il risultato finale è avvenuto con una sola operazione o se è frutto di due o più trasformazioni: quello che ha importanza è la situazione della figura finale in relazione alla figura iniziale, senza alcun riguardo per le eventuali trasformazioni intermedie.
L'argomento viene esemplificato mediante la fotografia della sola faccia anteriore di un telefonino, dunque con un'immagine bidimensionale, detta anche piana.
Se facciamo appartenere la figura iniziale F alla classe A, e vi applichiamo una trasformazione ben definita, allora come risultato avremo una figura finale F' (detta anche figura trasformata F')che consideriamo appartenente alla classe B, ed entrambi le classi apparterranno allo stesso piano.
Viceversa, se considero un punto A' della figura finale F', e se conosco la trasformazione che lo ha prodotto, allora posso sempre risalire al punto iniziale A.
La circostanza per cui posso eseguire trasformazioni in un verso e anche nel verso opposto, ritrovando i punti iniziali, si esprime dicendo che sul piano ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra due classi di enti.
La trattazione che segue vuole rispecchiare sinteticamente quanto il matematico tedesco Felix Klein (1849-1925) espose nel 1872 nel Programma di Erlangen (tradotto dal tedesco da Gino Fano, Annali di matematica pura e applicata, (2) (17), 1889-1890, p. 307, e recentemente sul web tradotto da Antonello Sciacchitano). Lo stesso Klein descrisse dieci anni dopo la sua Bottiglia di Klein (vedi anche il breve video).
Secondo Klein, una geometria è lo studio delle proprietà invarianti per effetto di un dato gruppo di trasformazioni.
Le trasformazioni verranno trattate in questo post in modo grafico-intuitivo, mentre il concetto di gruppo verrà illustrato in un post successivo.
Osservazione - Nei testi viene usata quasi sempre la parola "proprietà" che, qui, è sostituita con la parola "caratteristica" che sembra più appropriata.
Le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel pianoLe caratteristiche delle figure devono essere considerate rispetto ad una qualsiasi trasformazione che si possa applicare alle figure stesse. Cioè, durante una trasformazione possono avvenire dei cambiamenti in alcune delle caratteristiche, mentre in altre caratteristiche non avremo variazioni: in quest'ultimo caso, come detto sopra, si dice che quella caratteristica è invariante rispetto a quella trasformazione.
Le caratteristiche da considerare sono le seguenti:
1) Posizione: se la figura non cambia posizione, allora la figura iniziale F e la figura finale F' coincidono perfettamente.
La trasformazione è consistita in una identità.
2) Orientazione: se la figura cambia la posizione, ma non l’orientazione, né cambiano le caratteristiche che sono elencate successivamente qui di seguito, allora nella figura trasformata F' la direzione di un segmento preso a caso sarà orientato allo stesso modo che nella figura iniziale F.
La trasformazione è consistita in una traslazione.
3) Lunghezza: si intende che cambiano le due caratteristiche di posizione e orientazione, ma non cambia la lunghezza reciproca tra due punti qualsiasi della figura.
La trasformazione è consistita in una rotazione.
Osservazione - Se il centro di rotazione è un punto improprio del piano, quindi viene definito dalla sua direzione, si ricade in una traslazione che ha per direzione quella ortogonale alla direzione del punto improprio suddetto.
4) Ordine: si intende che la figura può cambiare anche tutte le caratteristiche precedenti, ma l'ordine con cui sono posti i punti su un segmento orientato non cambia.
Su una retta, l'ordine viene considerato crescente da una parte di essa e decrescente dalla parte opposta. Si è soliti attribuire l'ordine crescente su una retta nel senso verso destra.
Su un piano, l'ordine viene messo in relazione a quello dei punti di una circonferenza tracciata su di esso, e se tali punti si succedono in senso orario si dirà che il piano è orientato in senso orario, al contrario si dirà che il piano è orientato in senso antiorario. (Vedi anche Postulati di ordinamento in questo post)
Quando, però, questa caratteristica della figura cambia, cioè nella figura trasformata si ha un ordinamento inverso dei suoi punti rispetto alla figura iniziale, allora la trasformazione è consistita nella riflessione.
Osservazione - Non va confuso l'ordine (o ordinamento) con l'orientazione (o orientamento): il primo si riferisce solo al senso crescente (o decrescente) dei suoi elementi, mentre il secondo si riferisce solo all'angolo di due direzioni (per le rette) o di due giaciture (per i piani).
5) Rapporto tra lunghezze: si intende che la figura può cambiare anche tutte le caratteristiche precedenti, ma la lunghezza del segmento tra due punti qualsiasi della figura varia in modo costante cioè se essa, prima della trasformazione era, poniamo, di 20 cm, allora dopo la trasformazione potrebbe essere, poniamo, di 10 cm, e ciò equivale ad un rapporto pari ad ½, cioè quella misura si è dimezzata, ma anche la misura di tutti gli altri segmenti che posso fissare a piacere sulla figura si sono ridotti con lo stesso rapporto di ½.
Se il rapporto tra lunghezze non è variato, allora vuol dire che nemmeno l’angolo formato tra due segmenti qualsiasi della figura è rimasto invariato, per cui la forma della figura non è cambiata, ma si è solo rimpiccolita, in questo caso della metà in termini di lunghezze.
Infine, non cambiano le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una similitudine, detta anche omotetia.
Osservazione - Omotetia, dal greco omos che vuol dire “simile” e tìtheo che significa “metto”. Il termine è stato usato per la prima volta dal matematico francese Michael Chasles nel 1827.
6) Parallelismo: si intende che, in genere, sono cambiate le caratteristiche elencate precedentemente in questo elenco, ma non è cambiato il parallelismo tra due segmenti qualsiasi presi sulla figura; se tali segmenti erano paralleli nella figura iniziale, allora nella figura trasformata dovrò ritrovarli paralleli tra loro. Infine, anche in questo caso, non cambiano le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una affinità.
Particolari tipi di affinità sono costituite dai frattali (per una trattazione elementare della geometria dei frattali vedi il link).
7) Birapporto: anche in questo caso occorre tenere presente che possono cambiare tutte le caratteristiche elencate precedentemente in questo elenco, mentre il birapporto non cambia e, in particolare, poichè il birapporto è basato su rette, le rette si conservano tali. Non cambiano nemmeno le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una proiettività.
Osservazione - Con questa trasformazione rimaniamo nel campo della Geometria proiettiva, mentre con quelle successive ne usciamo.
8) Continuità: anche in questo caso possono variare tutte le caratteristiche precedenti, o solo alcune. Tuttavia, non avendo più l'allineamento di tre punti, cioè le rette si sono trasformate in linee generiche, la caratteristica del birapporto perde senso. Tuttavia, viene conservata la continuità tra i punti della figura.
La trasformazione avvenuta è come se la figura appartenesse ad un supporto di gomma deformabile a piacere (pur rimanendo nel piano), e con deformazioni tali che non comportassero "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
Due spazi topologici così caratterizzati si dicono omeomorfi (dal greco homoios = identica e morphe = forma) e godono delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, compattezza, ecc.).
La trasformazione è consistita in un omeomorfismo (nel piano).
Si riportano esempi di omeomorfismi nello spazio (Topologia), ed un video di 7'35", nonché il Leggio Afgano (parte 1 e parte 2), che è una figura topologicamente molto complessa, illustrata con proprietà da Felice Ragazzo.
9) Appartenenza: possono variare tutte o solo alcune delle caratteristiche precedenti, ma non avendo più la continuità tra i punti della figura siamo in presenza di una diffusione di punti che, tuttavia, devono ancora appartenere all'insieme di cui facevano parte inizialmente.
La trasformazione, prendendo ad esempio il gioco del biliardo, è avvenuta come se dall'insieme iniziale di palle raccolte in forma di triangolo si pervenisse, dopo il primo tiro, ad una diffusione del tutto casuale delle palle stesse all'interno del piano di gioco, anche a causa del rimbalzo contro le sponde e tra le stesse palle. Appare evidente che se togliessimo il recinto, in cui le palle sono costrette a muoversi, si avrebbe una diffusione differente che rispecchierebbe in qualche modo la disposizione iniziale all'interno del triangolo.
La trasformazione è consistita in una diffusione di punti (nel piano) (1).
Si riportano esempi di diffusione di punti nel piano (Teoria degli ordini), ed un simpaticissimo video di 3'55" sulle prodezze del biliardo, a scopo ricreativo.
Tabella complessiva delle trasformazioni nel piano.
Osservazione 1 - Con queste due ultime trasformazioni siamo fuori dal campo della Geometria proiettiva. Non facendo parte dei programmi di studio, non verranno ulteriormente approfondite nel seguito.
Sia la Topologia che la Teoria degli ordini sono tipi di geometria con una quantità ancora minore di invarianti rispetto alle precedenti geometrie, come illustrato nella tabella.
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Osservazione 2 -
La teoria degli ordini è basata sulla teoria degli insiemi e fa uso del concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme, concetto che richiama la dualità essere-non essere compreso nell'insieme, senza possibilità di un terzo caso (principio del terzo escluso), nè la possibilità che l'appartenenza possa essere - per così dire - "graduata" come si potrebbe esprimere per un bicchiere d'acqua riempito in parte (come rispondere, infatti, soltanto con un si o con un no, alla domanda: E' pieno?).
Se dell'appartenenza considerassimo, oltre alla possibilità "appartiene" e alla possibilità opposta "non appartiene", anche una terza possibilità del tipo "appartiene in una certa misura" e, dunque, rimuovendo la tassatività dell'appartenenza, allora usciremmo anche dalla teoria degli ordini (e dalla teoria degli insiemi che ne rappresenta la base), per entrare in un campo della matematica più vasto e generale che ha la sua base formale nella Teoria degli insiemi sfuocati e nella Logica sfuocata o Logica Fuzzy, che rappresentano una generalizzazione della logica classica, caratteristica peculiare della nostra cultura da almeno due millenni e mezzo.
Se la geometria, regina delle scienze fino alle soglie del XIX secolo, era nata 4000 anni fa per misurare la terra e per aiutare i naviganti a trovare la rotta voluta, quindi in un mondo abbastanza semplice, queste branche della matematica le si sono allontanate molto, e rispecchiano la crescente articolazione dei fenomeni sociali degli ultimi due secoli e la crescente consapevolezza della complessità dei sistemi neurobiologici degli ultimi decenni.
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Per una impostazione complessiva delle ricerche matematiche e geometriche, secondo la Mathematics Subject Classification, vedi link.
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(1) Cfr. anche Beniamino Segre, La simmetria e la scienza, in Le Scienze n. 14, ottobre 1969.
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7) Birapporto: anche in questo caso occorre tenere presente che possono cambiare tutte le caratteristiche elencate precedentemente in questo elenco, mentre il birapporto non cambia e, in particolare, poichè il birapporto è basato su rette, le rette si conservano tali. Non cambiano nemmeno le caratteristiche elencate successivamente in questo elenco.
La trasformazione è consistita in una proiettività.
Osservazione - Con questa trasformazione rimaniamo nel campo della Geometria proiettiva, mentre con quelle successive ne usciamo.
8) Continuità: anche in questo caso possono variare tutte le caratteristiche precedenti, o solo alcune. Tuttavia, non avendo più l'allineamento di tre punti, cioè le rette si sono trasformate in linee generiche, la caratteristica del birapporto perde senso. Tuttavia, viene conservata la continuità tra i punti della figura.
La trasformazione avvenuta è come se la figura appartenesse ad un supporto di gomma deformabile a piacere (pur rimanendo nel piano), e con deformazioni tali che non comportassero "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".
Due spazi topologici così caratterizzati si dicono omeomorfi (dal greco homoios = identica e morphe = forma) e godono delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, compattezza, ecc.).
La trasformazione è consistita in un omeomorfismo (nel piano).
Si riportano esempi di omeomorfismi nello spazio (Topologia), ed un video di 7'35", nonché il Leggio Afgano (parte 1 e parte 2), che è una figura topologicamente molto complessa, illustrata con proprietà da Felice Ragazzo.
9) Appartenenza: possono variare tutte o solo alcune delle caratteristiche precedenti, ma non avendo più la continuità tra i punti della figura siamo in presenza di una diffusione di punti che, tuttavia, devono ancora appartenere all'insieme di cui facevano parte inizialmente.
La trasformazione, prendendo ad esempio il gioco del biliardo, è avvenuta come se dall'insieme iniziale di palle raccolte in forma di triangolo si pervenisse, dopo il primo tiro, ad una diffusione del tutto casuale delle palle stesse all'interno del piano di gioco, anche a causa del rimbalzo contro le sponde e tra le stesse palle. Appare evidente che se togliessimo il recinto, in cui le palle sono costrette a muoversi, si avrebbe una diffusione differente che rispecchierebbe in qualche modo la disposizione iniziale all'interno del triangolo.
La trasformazione è consistita in una diffusione di punti (nel piano) (1).
Si riportano esempi di diffusione di punti nel piano (Teoria degli ordini), ed un simpaticissimo video di 3'55" sulle prodezze del biliardo, a scopo ricreativo.
Tabella complessiva delle trasformazioni nel piano.
Osservazione 1 - Con queste due ultime trasformazioni siamo fuori dal campo della Geometria proiettiva. Non facendo parte dei programmi di studio, non verranno ulteriormente approfondite nel seguito.Sia la Topologia che la Teoria degli ordini sono tipi di geometria con una quantità ancora minore di invarianti rispetto alle precedenti geometrie, come illustrato nella tabella.
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Osservazione 2 -
La teoria degli ordini è basata sulla teoria degli insiemi e fa uso del concetto di appartenenza di un elemento ad un insieme, concetto che richiama la dualità essere-non essere compreso nell'insieme, senza possibilità di un terzo caso (principio del terzo escluso), nè la possibilità che l'appartenenza possa essere - per così dire - "graduata" come si potrebbe esprimere per un bicchiere d'acqua riempito in parte (come rispondere, infatti, soltanto con un si o con un no, alla domanda: E' pieno?). Se dell'appartenenza considerassimo, oltre alla possibilità "appartiene" e alla possibilità opposta "non appartiene", anche una terza possibilità del tipo "appartiene in una certa misura" e, dunque, rimuovendo la tassatività dell'appartenenza, allora usciremmo anche dalla teoria degli ordini (e dalla teoria degli insiemi che ne rappresenta la base), per entrare in un campo della matematica più vasto e generale che ha la sua base formale nella Teoria degli insiemi sfuocati e nella Logica sfuocata o Logica Fuzzy, che rappresentano una generalizzazione della logica classica, caratteristica peculiare della nostra cultura da almeno due millenni e mezzo.
Se la geometria, regina delle scienze fino alle soglie del XIX secolo, era nata 4000 anni fa per misurare la terra e per aiutare i naviganti a trovare la rotta voluta, quindi in un mondo abbastanza semplice, queste branche della matematica le si sono allontanate molto, e rispecchiano la crescente articolazione dei fenomeni sociali degli ultimi due secoli e la crescente consapevolezza della complessità dei sistemi neurobiologici degli ultimi decenni.
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Per una impostazione complessiva delle ricerche matematiche e geometriche, secondo la Mathematics Subject Classification, vedi link.
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(1) Cfr. anche Beniamino Segre, La simmetria e la scienza, in Le Scienze n. 14, ottobre 1969.
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