Le proiezioni ortogonali 5: condizioni di perpendicolarità

NOTA PRELIMINARE
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali è una affinità (vedi in questo post), pur conservando il parallelismo, non conserva l'ampiezza degli angoli né la lunghezza dei segmenti e, dunque, in generale le sue proiezioni su uno dei piani di proiezione non conserva l'ortogonalità tra rette nè le tracce omonime di piani ortogonali sono tra loro ortogonali.
Dalla geometria elementare dello spazio (vedi punti c e d) ricordiamo due circostanze che possono farci risolvere il problema:
1) due rette sono perpendicolari tra loro quando una di esse si trova su un piano ortogonale all'altra:
2) due piani sono perpendicolari tra loro quando uno di essi contiene una retta ortogonale all'altro.
Pertanto, la condizione di perpendicolarità viene espressa in modo diretto solo tra retta e piano e viceversa, ma non può essere espressa in modo diretto tra enti geometrici dello stesso tipo, come retta con retta (nel qual caso occorre un piano ausiliario) o piano con piano (nel qual caso occorre una retta ausiliaria).

CONDIZIONI DI ORTOGONALITA'
Una retta e un piano sono tra loro perpendicolari se lo sono le proiezioni della retta con le tracce omonime del piano, e viceversa.
1 - Una retta r è perpendicolare ad un piano alfa se le sue proiezioni r' ed r" sono perpendicolari alle tracce omonime del piano t'alfa e t"alfa.
2 - E viceversa, un piano alfa è perpendicolare ad una retta r se le tracce del piano t'alfa e t"alfa sono perpendicolari rispettivamente alle proiezioni omonime della retta r' ed r").
3 - Una retta s è ortogonale ad una retta r (data) se per quest'ultima passa un piano ad essa ortogonale.
4 - E viceversa, vedi figura a fianco, un piano beta è ortogonale ad un piano alfa (dato) se le sue tracce t'beta e t"beta passano per le tracce T'r e T"r di una retta ortogonale ad alfa (individuata come al caso1).

Le proiezioni ortogonali 4: condizioni di parallelismo

Due enti geometrici sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
1 - Due rette sono parallele se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
2 - Due piani sono paralleli se lo sono i rispettivi elementi rappresentativi omonimi.
3 - Un piano è parallelo ad una retta se contiene una retta (ausiliaria) parallela a quella data.

CONSIDERAZIONI
Poiché il metodo delle proiezioni ortogonali utilizza proiezioni parallele, esso conserva il parallelismo, per cui:
1 - Per costruire una retta s parallela ad una retta r (data) occorre costruire s' parallelamente ad r' ed s" parallelamente ad r".
2 - Per costruire un piano beta parallelo ad un piano alfa (dato) occorre costruire t'beta parallelamente a t'alfa, e t"beta parallelamente a t"alfa, ricordando che le tracce del piano devono incontrarsi nello stesso punto della linea di terra l.
3 - Nel terzo caso, e cioè la costruzione di un piano parallelo ad una retta, ci troviamo di fronte a due modi che non possono essere percorsi: a) pur essendo dello stesso genere le tracce del piano da costruire (che sono rette) e le tracce della retta data (che sono punti), non ha senso una relazione di parallelismo tra retta e punto; b) le tracce del piano (che sono rette) non possono essere messe in relazione di parallelismo con le proiezioni della retta data (che sono rette anch'esse) perché sono di generi diversi.

La difficoltà, tuttavia, viene superata (vedi figura) tracciando prima una retta ausiliaria s qualsiasi, cioè costruendo le proiezioni di s parallelamente alle proiezioni di r (che sono dello stesso genere, cioè, per l'appunto, sono delle proiezioni) con s' parallela ad r', ed s" parallela ad r" e quindi ricavando da queste le tracce T's e T"s della retta s e, solo dopo, costruendo le tracce t'alfa e t"alfa del piano alfa passanti per le tracce T's e T"s della retta s, ricordando che si devono incontrare nello stesso punto sulla linea di terra l (punto che viene chiamato "vertice del piano"). Il piano alfa risulta essere uno dei tanti (infiniti) piani del fascio di piani che ha per sostegno la retta s.
Dallo specchietto si nota che non si possono impiegare solo gli elementi rappresentativi degli enti dati o da ricercare, ma che occorre fare ricorso ad enti ausiliari: in questo caso, la retta s.