Le diverse geometrie studiate finora, e cioè la geometria dell'uguaglianza, che si studia in parte alle scuole elementari e in parte alle scuole medie, la geometria della similidudine, che si studia in parte alle scuole medie e in parte alle scuole superiori, e che insieme sono dette anche geometria della congruenza
e, infine, la geometria dell'affinità, che si studia alle scuole superiori, sono tutte ricomprese all'interno della geometria proiettiva in quanto quest'ultima ha un minor numero di caratteri invarianti che, detto in parole povere, vuol dire ha meno "regole". Se apparentemente sembrerebbe una geometria più "semplice" delle altre, in realtà è più complessa, ed è per questo che viene trattata nei corsi di studio superiori, dapprima nella scuola secondaria di secondo grado nella forma del disegno di prospettiva e, poi, all'università sia nella forma grafica che in quella analitica.Come mostrato sinteticamente nelle due figure, le differenze sono dovute alla diversa disposizione reciproca del centro di omologia e dell'asse di omologia che determinano i diversi "caratteri metrici" di esse.
Omologia generale (fig. 1)
L'omologia si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, detta asse di omologia, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia. Di questo caso abbiamo parlato in modo completo al post precedente.
Affinità (fig. 2)
L'affinità si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, non sono paralleli tra loro, per cui hanno in comune una retta propria, come nel caso dell'omologia, detta asse di omologia, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività. entrambi propri, è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, che è il centro di omologia, del quale non è possibile disegnare su foglio la posizione, la quale può essere indicata solo come "direzione".
Oltre a questo caso generale, esistono altri due casi da considerare:
3) se i due centri di prospettività sono entrambi impropri, ma le loro direzioni sono complanari, allora essi determinano una retta impropria, e il piano che la contiene, incontrando il piano di proiezione pigreco, determina una retta su di esso (generalmante propria) che dovrebbe fungere da centro di proiezione ma, trattandosi per l'appunto di una retta, quando si esegue la proiezione di punti e di rette di pigreco, fornisce dei piani (tutti appartenenti a pigreco), per cui ai punti e alle rette della figura iniziale corrisponderebbero infiniti elementi omologhi, ed il problema avrebbe infinite soluzioni, mentre abbiamo definito la prospettività come una corrispondenza biunivoca (senza eccezioni);
4) se i due centri di prospettività sono entrambi impropri (come al punto 3), ma le loro direzioni non sono complanari, non è possibile stabilire nè un punto in comune tra loro, né un piano proprio, ma solo un piano improprio e, considerando la definizione che ne abbiamo dato in un post precedente, come la superficie di una sfera di raggio infinito, il problema diventa senza soluzione o, meglio, si trasforma in una traslazione perchè le due proiezioni sul piano pigreco ci sono comunque e, nell'esaminarle, ci si accorge che la fattispecie è passata dall'affinità alla traslazione.
Omotetia (fig. 3)
L'omotetia si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività non è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto proprio, detto centro di omologia.
Le due prospettività forniranno figure simili, cioè della stessa forma, ma una più grande e una più piccola. Gli angoli corrispondenti saranno della medesima ampiezza, mentre i lati corrispondenti saranno tra loro proporzionali, ed il fattore di proporzionalità è dato dal rapporto tra le due distanze comprese tra il centro di omologia e i due punti considerati. Tale fattore di proporzionalità sarà identico per tutte le lunghezze della figura.
Traslazione (fig. 4)
La traslazione si ha:
1) quando il piano di proiezione, pigreco, e quello su cui si trova la figura, sigma, sono paralleli tra loro, per cui non hanno in comune una retta propria e, quindi, l' asse di omologia non può essere indicato sul foglio nemmeno come direzione, e
2) quando la retta che passa per i due centri di prospettività è parallela al piano di proiezione pigreco, per cui l'incontro di tale retta con quest'ultimo piano fornisce un punto improprio, detto centro di omologia. Le due prospettività forniranno figure della stessa forma e della stessa grandezza, e l'una e l'altra verranno ad essere rappresentate sul piano di proiezione pigreco in due posizioni differenti dipendenti dalla posizione spaziale dei due centri (qualora venissero a trovarsi sovrapposte, si parlerebbe di "uguaglianza", che è il caso particolare della traslazione quando lo spontamento è nullo).
Omologia di ribaltamento (fig. 5)
Pur rientrando nel caso dell'omologia generale, l'omologia di ribaltamento consente costruzioni di grande interesse applicativo.
Nell'ambito dell'omologia generale, essa si caratterizza per il fatto di poter eseguire le costruzioni prospettiche ed assonometriche direttamente su un unico foglio da disegno, senza dover ricorrere a nessuna figura preparatoria.
Dei due centri di prospettività, uno è proprio, come nell'omologia generale, mentre l'altro è improprio ed ha direzione ortogonale al piano bisettore beta di uno dei due diedri formati dal piano di proiezione pigreco e dal piano sigma sul quale si trova la figura. Questo consente di trovare agevolmente il centro di omologia su pigreco.
Piero Della Francesca (1416-1492) utilizzò questa omologia per dettare il suo metodo prospettico (figure), ancor prima che Poncelet (1788-1867) estrinsecasse a pieno la teoria della Geometria proiettiva.
Per una lettura veramente affascinante, si consiglia, per questo post, la lettura del libro di Piergiorgio Odifreddi Una via di fuga, Mondadori 2011. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E la presentazione del suo libro sul suo sito.
