L'omologia

L'omologia piana
L'omologia piana è la relazione che insorge tra due figure su un piano (piano di proiezione) quando esse sono il risultato di due prospettività di un medesimo piano (diverso dal precedente) eseguite da due centri di prospettività differenti.
Poichè le due prospettività sono eseguite con operazioni di proiezione e sezione, l'omologia è una proiettività, cioè una trasformazione del piano che trasforma rette in rette e conserva l'appartenenza (se tre punti si trovavano su una retta, dopo la trasformazione essi si troveranno ugualmente su una retta e, precisamente, sulla retta trasformata di quella iniziale).
In quanto proiettività, inoltre, l'omologia conserva il birapporto di quattro punti o di quattro rette, e questo ne costituisce l'invariante.

L'omologia è determinata quando se ne conoscono il centro, l'asse e una coppia di elementi omologhi (o due punti, oppure due rette) (fig. 1).
Il centro è costituito dal punto di intersezione della retta passante per i due centri di prospettività con il piano di proiezione.
L'asse è costituito dalla retta di intersezione dei due piani, quello di proiezione e quello sul quale si trova la figura.

I due centri di prospettività possono essere disposti in qualsiasi modo rispetto ai due piani, purchè non appartengano entrambi all'asse (vedi la fig. 2 e la fig. 3, relative alle due prospettività eseguite separatamente e la fig. 4 che è l'assemblaggio delle precedenti due; per comprendere meglio le operazioni eseguite si riporta anche la proiezione con il metodo di Monge in fig. 5; mentre in fig. 6 si riporta un dettaglio della precedente che esamina la relazione omologica direttamente sul piano di proiezione pigreco visto di fronte).

L'omologia generale viene a prendere diverse configurazioni metriche (1) a seconda della posizione reciproca dei due elementi caratterizzanti dal punto di vista proiettivo, e cioè: 1) la retta comune ai due piani pigreco di proiezione e sigma sul quale si trova la figura (detta asse di omologia); 2) la retta congiungente i due centri di prospettività (che determina sul piano pigreco il centro di omologia). (nelle figure precedenti sono indicati, rispettivamente, con pigreco, con sigma e con C1C2).
Le diverse caratterizzazioni sono in totale quattro: 1) l'omologia generale (o proiettività; esposta sopra); 2) l'affinità (o omologia affine); 3) l'omotetia (o similitudine); 4) l'uguaglianza (o traslazione).

Le quattro caratterizzazioni godono di diverse proprietà, e si caratterizzano per un numero via via crescente di "invarianti geometriche" come descritto sotto il titolo "Le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano"nel post sulle trasformazioni geometriche, e in questo post sulla generazione proiettiva delle geometrie.

Esistono, poi, altre due forme di omologia generale, e cioè "l'omologia di ribaltamento" (di cui parleremo in un post successivo) e "omologia speciale", nella quale la retta che passa per i due centri di prospettività incontra il piano di proiezione pigreco sull'asse di omologia (anche questa forma rientra nel caso dell'omologia generale, e cioè: centro proprio e asse proprio; e valgono le stesse regole dell'omologia).

L'omologia nello spazio
Per approfondire l'omologia nello spazio, vedi:
Ugo Saccardi, Applicazioni della geometria descrittiva, IV edizione, LEF 1977, pag. 246;
Jean Victor Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, Vol. 1, Paris 1822, pag. 357;
Ferdinando Aschieri, Geometria proiettiva dello spazio, Hoepli 1895, pag. 66.

(1) L'espressione configurazioni metriche è intesa nel senso degli invarianti nelle trasformazioni, cioè la conservazione delle proprietà relative agli angoli, alle lunghezze, al parallelismo, ecc..