Teoria dei gruppi (principi)



La teoria dei gruppi è stata elaborata nell'arco di oltre un secolo ad iniziare dai primi studi pionieristici del 1771 ad opera del matematico italiano J.L. Lagrange (1736-1813) (all'anagrafe: Lagrangia Giuseppe Lodovico) per proseguire con i lavori del matematico norvegese N.H. Abel (1802-1829) e del matematico francese A.L. Cauchy (1789-1857).
Il termine "gruppo", invece, fu introdotto solo nel 1832 dal giovane matematico francese E. Galois (1811-1832) (link al film "Non ho tempo" sugli ultimi anni della sua avventirosa vita,; altro link all' Archivio) che segnò un importante punto di arrivo per la teoria, sul quale si innestarono gli approfondimenti e le precisazioni di altri e, in special modo, nel 1854 del matematico inglese A. Cayley (1821-1895), al quale si deve anche la teoria delle matrici.
La teoria dei gruppi fu ulteriormente indagata nel corso del '900 dal matematico inglese H.S. MacDonald Coxeter (1907-2003), il quale fu l'ispiratore di alcune opere di M.C. Escher (1898-1972) e di alcune forme di R. Buckminster Fuller (1895-1983).

In questo post introduttivo prenderemo spunto dalle operazioni elementari dell'aritmetica, in quanto nei precedenti corsi di studio l'argomento viene trattato in modo appropriato, mentre nei successivi post tratteremo in genere operazioni diverse da quelle aritmetiche e, in principal modo, tratteremo quelle specifiche operazioni che già conosciamo e che sono le trasformazioni geometriche.

Convenzione - Nel seguito, quando si parlerà di operazione generica in un gruppo la si indicherà con il simbolo qui espresso tra parentesi (r), mentre se l'operazione riguarda una delle operazioni elementari dell'aritmetica la si indicherà con i noti simboli (+), (-), (x) e (:) oppure (/).

Gruppi
Un gruppo è definito come un insieme di elementi ed una sola determinata operazione che è possibile eseguire tra due di quegli elementi. Quella operazione costituisce la legge di composizione (detta anche di trasformazione, o di applicazione) degli elementi (o tra gli elementi) dell'insieme.
Ad esempio: l'insieme dei numeri naturali e l'operazione di addizione costituiscono il gruppo "somma tra numeri naturali"; se al posto di numeri naturali sostiuisco numeri razionali, avrò un diverso gruppo denominato "somma tra numeri razionali"; se al posto di addizione sostituisco moltiplicazione avrò un altro gruppo ancora, denominato "moltiplicazione di numeri naturali".

Il risultato dell'operazione, in ogni caso, deve essere un elemento appartenente all'insieme di cui era costituito il gruppo.
Ad esempio: per il gruppo "somma di numeri naturali" posso sommare 3 e 4, e come risultato avrò un unico elemento che vi corrisponde, e cioè 3 + 4 = 7 che è anch'esso un elemento dell'insieme dei numeri naturali; così per il gruppo "moltiplicazione di numeri naturali" posso moltiplicare 5 con 8, e come risultato avrò un unico elemento, e cioè: 5 x 8 = 40.
Naturalmente, posso assoggettare all'operazione anche due elementi non distinti, e cioè due elementi identici (es.: 4 + 4 = 8).

Definizione: un gruppo è una operazione binaria in un insieme (la parola "binaria" si riferisce al fatto che avviene tra due elementi dell'insieme).

Sottogruppi
In un gruppo vi possono essere dei sottogruppi, all'interno dei quali l'operazione può fornire come unico risultato ancora un elemento del sottogruppo, oppure può fornire un elemento che, pur non appartenendo al sottogruppo, appartiene comunque al gruppo.

Ad esempio: il gruppo "somma di numeri pari" (considerato come sottogruppo del più ampio gruppo "somma di numeri naturali") è un gruppo, in quanto sommando due numeri pari qualsiasi si ottiene un elemento che appartiene ancora al gruppo (es.: 4 + 8 = 12).
In questo caso, si dice che il gruppo "somma di numeri pari" è un sottogruppo chiuso del gruppo "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione non fa uscire il risultato dal gruppo stesso.

Al contrario, il gruppo "somma di numeri dispari" non è un gruppo, in quanto vi sono casi in cui sommando due elementi presi a caso si può ottenere per risultato un elemento che non appartiene all'insieme "numeri dispari" (es.: 5 + 7 = 12).
In quest'ultimo caso, si dirà che il gruppo "somma di numeri dispari", pur non essendo un gruppo, è un sottogruppo aperto in un gruppo più ampio denominato "somma di numeri naturali", in quanto l'operazione, in alcuni casi, fornisce per risultato un elemento che è fuori dal sottogruppo stesso.

Proprietà commutativa
Si dice che un gruppo gode della proprietà commutativa quando scambiando l'ordine dei due elementi da assoggettare all'operazione si ottiene lo stesso risultato.
Un gruppo commutativo è detto gruppo abeliano in onore del matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829).

Ad esempio: il gruppo "somma dei numeri naturali" è commutativo (es.: 8 + 5 = 5 + 8), come pure il gruppo "moltiplicazione di numeri reali" (es.: 3 x 5 = 5 x 3), mentre il gruppo "differenza di numeri naturali" è non commutativo (es.: 8 - 5 fornisce un risultato diverso da 5 - 8).

Assioma dell'associatività
Si dice che un gruppo gode della proprietà associativa se, presi tre elementi dell'insieme, associandoli in un certo modo e assoggettandoli due volte all'operazione r, fornisce lo stesso risultato anche qualora siano associati diversamente.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" si ha: a x (b x c) = (a x b) x c, infatti p. es. 5 x (6 x 7) = 210, come (5 x 6) x 7 = 210, per cui tale gruppo è associativo.
La contrario, nel gruppo "divisione di numeri reali" si ha: a : (b : c) è diverso da (a : b) : c, infatti 5 : (6 : 7) = 5,833, mentre (5 : 6) : 7 = 0,119, per cui tale gruppo non è associativo.

Assioma dell'identità
Si dice che un gruppo è dotato dell'elemento "identità", che viene indicato con una "i" maiuscola corsiva (I), se assoggettando un qualsiasi suo elemento dell'insieme all'operazione r con l'elemento "identità" si ottiene come risultato l'elemento stesso.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento neutro, con il senso di cui sopra.

Ad esempio: nel gruppo "moltiplicazione di numeri reali" l'elemento "identità" è il numero 1, infatti si ha 5 x 1 = 1 x 5 = 5, pertanto il ruolo dell'elemento neutro è svolto dal numero 1.
Al contrario, nel gruppo "somma di numeri reali" l'elemento "identità" non è il numero 1 ma il numero 0, infatti 5 + 0 = 0 + 5 = 5, mentre applicando l'operazione al numero "identità", che prima abbiamo visto essere valido per il gruppo "moltiplicazione di numeri reali", cioè al numero 1 si avrebbe 5 + 1 = 1 + 5 = 6 che è diverso dall'elemento di partenza che era il numero 5.

Richiamo - In aritmetica, si dice che due elementi sono reciproci (sinonimo di inverso) se il loro prodotto fornisce l'elemento "unità". Ad esempio, il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci uno dell'altro. Infatti. 3 x 1/3 = 1/3 x 3 = 3 : 3 = 1.

Assioma dell'inverso
Si dice che un elemento u di un gruppo ha un unico elemento inverso, indicato con "inv.u", quando, assoggettando entrambi all'operazione, si ottiene per risultato l'elemento identità I (come definito nell'assioma precedente). In pratica: u r inv.u = inv.u r u = I.
Resta inteso che l'opposto dell'opposto di un elemento è l'elemento stesso, cioè: inv.inv.u = u.
Questo assioma è noto anche come Assioma dell'esistenza dell'elemento simmetrico, con il senso di cui sopra.

Riepilogo della nomenclatura usata - Gruppo: G - Insieme di elementi: U - Elementi: u - Operazione binaria: r - Elemento identità: I - Elemento inverso di u: inv.u.

Riassumendo
Un gruppo G è un insieme U di elementi u con, al suo interno, una operazione binaria r, che soddisfi gli assiomi dell'associatività, dell'identità e dell'inverso.

Esempi

Osservazione - Se si volessero trascurare alcuni o tutti gli assiomi di cui sopra, il campo di studio si allargherebbe e si entrerebbe nello studio di strutture algebriche diverse e più generali, delle quali quella denominata Magma è quella con minori vincoli.
Analoga situazione è stata riscontrata nell'esame delle trasformazioni geometriche, per cui nel passare dalle isometrie alla proiettività e oltre abbiamo notato come diminuiscano gli invarianti del piano e delle figure che si possono prendere su di esso e, inversamente, come aumentino le azioni che possiamo fare riguardo alle figure e a tutto il piano.
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