La prospettività

Proprietà proiettive delle figure
La geometria proiettiva studia le proprietà proiettive delle figure (sia nel piano che nello spazio), cioè quelle proprietà che si conservano quando la figura viene sottoposta ad operazioni di proiezione e sezione.
Nell'ambito della proiettività, la prospettività è una corrispondenza biunivoca tra due insiemi di elementi geometrici, consistente nel fatto che da un elemento di un insieme si può determinare uno ed un solo elemento dell'altro insieme, e viceversa, cioè non vi sono elementi di un insieme che non abbia il corrispondente nell'altro insieme, e ciò è dovuto al fatto che nella geometria proiettiva sono considerati, come peculiari di questa geometria, anche gli enti geometrici all'infinito (fig. 1 nel piano e fig. 5 nello spazio).

Nel piano (*)
1) Prospettività di centro C tra i punti di una retta m e le rette del fascio per C1 (esterno a m). Si tratta di una prospettività tra forme geometriche fondamentali di 1^ specie. Le due forme sono: il fascio di rette e la retta punteggiata (fig. 2).
2) Prospettività di centro C1 tra i punti delle rette n ed m (con C1 esterno ad esse). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono le due rette punteggiate (fig. 3). Il punto L è un punto doppio in quanto appartenente contemporaneamente alla retta m ed alla retta n.
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (esterni ad s). E' una prospettività tra due forme geometriche di 1^ specie le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 4). I punti della retta n, in quanto contenente i centri dei fasci C1 e C2, è una retta doppia, infatti, proiettando il punto N da C1 si ottiene la stessa retta che proiettandolo da C2.
Vedi anche l'animazione (cliccando la bacchetta sulla barra rosa) relativa al teorema di Stevin (1548-1620).

Nello spazio
1) Prospettività tra la stella di rette con centro in C1 e i punti del piano alfa (esterno a C1). E' una prospettività tra forme di 2^ specie, e cioè la stella di rette e il piano punteggiato (fig. 6).
2) Prospettività tra la stella di piani con centro in C1 e le rette del piano alfa (esterno a C1). Si tratta di una prospettività tra forme di 2^ specie cioè tra la stella di piani e il piano rigato (fig. 7).
3) Prospettività di asse s tra le rette di due fasci di rette con centri, rispettivamente, in C1 e C2 (i piani su cui giacciono i due fasci hanno per intersezione l'asse s, che non deve contenere né C1 né C2). E' una prospettività tra due forme di 1^ specie, le cui forme sono i due fasci di rette (fig. 8).
La retta congiungente i due centri C1 e C2 può essere vista come l'asse di un fascio di piani, i cui piani (ad esempio: alfa, beta, ecc.) incontrano i piani sigma e pigreco (sui quali giacciono i due fasci di rette) e danno luogo a ciascuna coppia di rette corrispondenti.
4) Prospettività tra un fascio di piani di asse s e una retta r (sghemba riapetto ad s). E' una prospettività tra due forme di specie diversa che sono: il fascio di piani, che è di 2^ specie, e la retta punteggiata, che è di 1^ specie (fig. 9).
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(*) Per una migliore visualizzazione dei lettori dediti alle arti visive, si preferisce esporre le prospettività a seconda che siano piane o spaziali, diversamente dalla maggior parte dei testi di geometria proiettiva che le espongono per appartenenza alla specie.
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