Richiami di geometria elementare del piano

Con l'espressione geometria elementare si deve intendere quella parte della geometria contenuta negli Elementi di Euclide fondata sui cinque postulati euclidei e che richiedono metodi pertinenti. Non sono, infatti, pertinenti ad essa i metodi adottati, ad esempio, nella geometria analitica, nè quelli della geometria proiettiva (in quanto questa estende lo spazio agli elementi impropri o all'infinito, che Euclide non contemplava). (Scarica la versione ristampata in PDF de gli Elementi nella traduzione di Niccolò Tartalea Brisciano, al secolo Niccolò Fontana, detto Tartaglia, Venezia 1565, oppure la versione originale).

La geometria elementare utilizza le operazioni della congruenza e della similitudine:
a) con la congruenza si confronta per sovrapposizione sia l'ampiezza degli angoli formati da due semirette con la medesima origine in un punto, sia la distanza tra due punti su una retta, per vedere se le due figure sono uguali, e ciò lo si può fare sul medesimo piano traslando e ruotando la figura fino a sovrapporla a quella iniziale;
b) mentre con la similitudine si confronta l'ampiezza degli angoli, come nel caso della congruenza, e la proporzionalità delle distanze tra coppie di punti corrispondenti, cioè la lunghezza dei segmenti (vedi un video fantastico su YouTube in cui si può constatare come le singole figure vengono sottoposte a quelle due operazioni).
Qualora si volessero maggiori informazioni sulle geometrie non euclidee, sorte nel corso del XVIII sec. e sviluppate compiutamente nel XIX sec., si rimanda a questo link wikipedia.

a) Postulati
1) Due punti individuano una retta.
2) Per un punto non appartenente ad una retta si può condurre una sola parallela ed una sola perpendicolare ad essa.
3) Tre punti non allineati, oppure una retta ed un punto ad essa esterno, oppure due rette, individuano un piano.

b) Teorema di Talete (640/624 circa - 547 a.C. circa)
Tre o più parallele determinano su due rette trasversali due insiemi di segmenti proporzionali.

c) Teorema di Pitagora (575 – 490 a.C)In un triangolo rettangolo il quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti. Vedi la dimostrazione mediante la scomposizione in triangoli, nota ai cinesi di un millennio prima di Pitagora.

d) Teoremi di Euclide (330 - 277 a.C.)1) in un triangolo rettangolo, il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa stessa. Lo stesso teorema può essere formulato in modo diverso così: In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa.
2) In un triangolo rettangolo il quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati la proiezione dei cateti sull’ipotenusa. Lo stesso teorema può essere formulato in modo diverso così: In un triangolo rettangolo, l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

e) Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Condotta una secante alla circonferenza per il punto dato, il prodotto dei segmenti che hanno per estremi il punto e le intersezioni della secante con la circonferenza è costante, ed è detto potenza.

Per approfondire ad un livello maggiore la Geometria Razionale. Nozioni sugli angoli.
Vedi la convenzione sull'uso dei simboli.
Infine: Il triangolo, che meraviglia!, di Renato Betti (su MatePristem).
Per una lettura veramente affascinante, a metà tra la storia e il brivido di riscoprire nozioni apprese nell'infanzia, si consiglia, per questo post, la lettura dei capitoli da 1 a 5 del libro di Piergiorgio Odifreddi C'è spazio per tutti, Mondadori 2010. Vedi anche la presentazione di Odifreddi su YouTube. E il suo sito di presentazione dei suoi libri.
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