1.1 - la proiezione dei punti della figura spaziale da un centro di proiezione. Se tale centro è un punto proprio si ha la proiezione centrale, detta anche proiezione conica, mentre se tale centro è improprio (cioè a distanza infinita) si ha la proiezione parallela, detta anche proiezione cilindrica (cioè tutti i raggi proiettanti sono paralleli tra loro);
1.2 - la sezione dei raggi visivi mediante un piano sul quale si viene a disegnare la rappresentazione della figura spaziale per come la si vede dal centro di proiezione che abbiamo scelto.
2 - Per individuare un punto nello spazio non è sufficiente una sola proiezione, e ciò avviene sia nella proiezione parallela (come avviene nel metodo delle proiezioni ortogonali) che in quella centrale (come avviene nella prospettiva), in quanto i punti che si trovano su quel raggio proiettante vanno ad essere proiettati tutti nel medesimo punto sul piano di proiezione (vedi figura).
2.1 - Occorre, pertanto, eseguire una seconda proiezione da un diverso centro di proiezione su un altro piano (che può essere distinto oppure coincidente con quello precedente)(1). A rigore, tale seconda proiezione può essere sostituita da un criterio metrico che fornisca le informazioni metriche necessarie nei problemi di costruzione sul foglio da disegno.
E' palese che gli elementi di riferimento devono essere noti, cioè si deve conoscere la posizione relativa sia dei due centri di proiezione che quella dei due piani di proiezione (orientazione interna del sistema).
2.2 - Quando il piano su cui si trova la figura viene proiettato da due centri di proiezione differenti sopra un medesimo piano (proiezione bicentrale) siamo in presenza di quella particolare relazione, tra le due figure proiettate su quel medesimo piano di proiezione, chiamata omologia, nella quale valgono le due proprità: a) punti omologhi sono allineati con il centro di omologia; b) rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia.
L'asse e il centro di omologia sono costituiti: il primo dalla retta di intersezione tra il piano su cui si trova la figura e il piano sul quale essa viene proiettata (dai due differenti centri di proiezione); il secondo dal punto di intersezione della retta congiungente i due centri di proiezione sul piano di proiezione.
2.3 - Il ribaltamento di un piano generico sul piano di proiezione presenta un particolare interesse applicativo in tutti i metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, in quanto consente di costruire sul piano di proiezione la medesima figura che si trova su quel piano generico, senza le deformazioni angolari o di lunghezza che sono tipiche, invece, della proiezione (vedi l'omologia di ribaltamento in questo post e la figura).
3 - In generale, le due proiezioni di un metodo di rappresentazione possono essere scelte a piacere, come pure la posizione reciproca dei due piani di proiezione o del criterio metrico. Ad esempio, potremo avere:
3.1 - Un centro di proiezione proprio ed un centro di proiezione improprio. Da essi si esegue la proiezione su un medesimo piano di proiezione. La proiezione eseguita dal centro improprio avrà una direzione particolare che illustreremo più tardi: il metodo è noto come Prospettiva, ed è stato oggetto di studi ad iniziare da Filippo Brunelleschi (1377-1446), per proseguire con Leon Battista Alberti (1404-1472), e Piero della Francesca (1416-1492) inizialmente nell'ambito dell'umanesimo fiorentino, mentre è stato ulteriormente perfezionato da altri studiosi come, ad esempio, Guidobaldo Del Monte (1545-1607), Simon Stevin (1548-1620) e Brook Taylor (1685-1771), allargando il campo d'interesse teorico e pratico a tutta l'Europa.Maggiori generalizzazioni del costrutto teorico e dei procedimenti operativi della prospettiva sono stati apportati, poi, da Jean Victor Poncelet (1788-1867) mediante la geometria proiettiva nel metodo di rappresentazione ora chiamato Metodo delle proiezioni centrali, il quale risolve i problemi di costruzione di figure anche senza la proiezione dal centro di proiezione improprio, introducendo un parametro metrico noto come il cerchio di distanza.
3.2 - Due centri di proiezione impropri, dai quali si proietta, rispettivamente, su due diversi piani di proiezione. Nel caso in cui la direzione di proiezione e il piano di proiezione siano tra loro ortogonali e, inoltre, i due piani di proiezione siano tra loro ortogonali (doppia ortogonalità) siamo in presenza del Metodo delle doppie proiezioni ortogonali, conosciuto anche come Metodo delle doppie proiezioni mongiane, o Metodo di Monge, dal nome del matematico francese Gaspard Monge (1746-1818) che per primo costruì la disciplina come un insieme ordinato e coerente di principi proiettivi e procedimenti grafici operativi, i quali erano in buona parte noti anche prima del suo libro Géométrie Descriptive, scritto nel 1768, ma pubblicato in prima edizione nel 1793. I due studiosi che fornirono materiale teorico e pratico al Monge sono da individuare soprattutto in Albrecht Durer (1471-1528) che contribuì con talune costruzioni relative alle proiezioni ortogonali e in Girard Desargues (1591-1661) che contribuì con teoremi e costruzioni proiettive.
3.3 - Due o più centri di proiezione impropri, dai quali si proietta la figura spaziale sul piano di proiezione (foglio da disegno). Tale metodo di rappresentazione è noto come Metodo dell'assonometria. In esso si può operare anche con un solo piano di proiezione ma, per quanto detto al §. 2.1, occorrerà introdurre un criterio metrico che è quello di fornire la scala di rappresentazione su ciascuno dei tre assi assonometrici, come si vedrà in seguito. Impieghi di tale metodo sono da rinvenire nella costruzione delle grandi cattedrali gotiche del XIII e XIV secolo e, soprattutto nelle costruzioni architettoniche civili, militari e religiose del XVII e XVIII secolo. Il metodo si è evoluto come applicazione pratica delle necessità di cantiere per la costruzione di edifici e, specificatamente, per quanto riguarda il taglio dei legnami e delle pietre, disciplina chiamata Stereotomia. I principali studiosi del metodo dell'assonometria sono stati: ......
3.4 - Un centro di proiezione improprio ed un criterio metrico con cui individuare le informazioni che avrebbero dovuto essere fornite da un secondo piano di proiezione (vedi considerazione in §. 2.1). Se la proiezione è eseguita ortogonalmente al piano di proiezione avremo il Metodo delle proiezioni quotate, impiagato nella rappresentazione cartografica di un territorio come nella rappresentazione di coperture a falde di edifici, nonché nella rappresentazione di prodotti industriali come lo scafo della nave, la carrozzeria dell'automobile e altri corpi di forma prevalentemente non piana.
3.5 - Esistono, inoltre, altri metodi di rappresentazione come il Metodo delle proiezioni stereografiche, le cui prime intuizioni teoriche e grafiche sono dovute a Leonardo da Vinci (1452-1519), metodo poi perfezionalo da Guillaume Postel (1510-1581) e impiegato soprattutto dai cartografi che tentavano di rappresentare il Nuovo Mondo delle recenti scoperte geografiche. Vi è, inoltre, il Metodo delle proiezioni curvilinee le cui applicazioni pratiche ed intuitive in ambito artistico sono quasi tutte in territorio fiammingo (attuale Olanda e parte del Belgio), ad opera, principalmente, di Jean Fouquet (1420-1481). Tale metodo è stato sistematizzato solo di recente come metodo di rappresentazione, e anche se in modo non completo, da André Barre e Albert Flocon in un manualetto francese del 1968 La perspective curviligne.
Il metodo delle proiezioni stereografiche e quello delle proiezioni curvilinee, tuttavia, non rientrano nell'ambito della geometria proiettiva in quanto le rette dello spazio non vengono rappresentate tutte come rette, ma in alcune posizioni si trasformano in curve trascendenti (che fanno uso, cioè, della trigonometria), e non vi è la conservazione del birapporto.
4 - Pur essendo possibile scegliere a piacere le modalità di proiezione di un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva, come detto nel §. 3, occorre osservare che la scelta deve portare a soluzioni grafiche il più possibile semplici e di chiara evidenza visiva ed interpretativa ed evitare inutili complicazioni esecutive, altrimenti l'interesse verrebbe confinato nel campo della pura speculazione senza rendere utilità esecutiva che è il principale scopo per cui storicamente sono stati creati i metodi di rappresentazione.
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(1) Vedi anche: Commessatti Annibale (1886-1945), Geometria descrittiva e applicazioni, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi, Vol. 2-II, Hoepli Editore, Milano 1979, pag. 315.
