Le proiezioni centrali 2: rappresentazione degli enti geometrici

GENERALITA'
Proiettare un punto P che si trova nello spazio, da un centro di proiezione C, significa costruire la retta che passa per i due punti P e C; la successiva sezione mediante un piano di proiezione p individua il punto P' di intersezione della retta CP con tale piano p. Il punto P' su p viene detto immagine, oppure rappresentazione, del punto P.
E' evidente che da tale immagine P' non è possibile risalire all'esatta posizione del punto P nello spazio, poiché tutti i punti che stanno sulla retta proiettante CP hanno la medesima immagine in P'.
Dopo aver eseguito la proiezione ed aver individuato il punto P' su p, cioè dopo aver eseguito il disegno, è necessario poter risalire in modo univoco alla posizione originaria del punto P nello spazio, come dice Gaspard Monge nella sua Introduzione alla Geometria Descrittiva del 1798 (1) che, se pure era contenuta nel suo libro dedicato prevalentemente alle Proiezioni Ortogonali, ha validità assolutamente generale, e deve essere applicabile a qualsiasi metodo di rappresentazione della geometria descrittiva.
Occorre, pertanto, far passare per esso una retta, oppure un piano, che verranno detti ausiliari e che, ovviamente, non devono essere proiettanti, cioè non devono passare per il centro di proiezione C.
A tale scopo inizieremo la rappresentazione degli enti geometrici nella proiezione centrale dalla retta e dal piano, e non dal punto, anche se esso è il più elementare ente geometrico tra tutti e tre.
Occorre ricordare, infine, che nello spazio, oltre al piano di proiezione p e al centro di proiezione C, vi è sempre anche il piano improprio (che indicheremo con t), il cui impiego ausiliario, dal momento che contiene le rette improprie di tutti i piani dello spazio e i punti impropri di tutte le rette dello spazio, è indispensabile in tutti i casi in cui si presentano problemi di parallelismo, in quanto è su di esso che andranno cercate le posizioni di punti e rette impropri veri, le cui proiezioni, invece, si troveranno sul piano p, e saranno indicate con una lettera con apice (ad es.: A'_∞ oppure F'_∞ per le proiezioni dei punti impropri A_∞ ed F_∞, ed r'_∞ oppure o'_∞ per l'immagine delle rette improprie r_∞ ed o_∞).
N.B. 1 - Nei disegni a corredo di questo post faremo uso di un piano di proiezione p  verticale (vedi qui i motivi già linkati nel post precedente). 
N.B. 2 - Per rendere più comprensibile la posizione spaziale degli elementi disegnati faremo uso di un'assonometria, mediante un piano di riferimento assonometrico ausiliario s  che avrà giacitura orizzontale e, dunque, ortogonale al piano di proiezione p, anche se le considerazioni teoriche saranno valide per qualunque inclinazione reciproca dei due piani.
N.B. 3 -  In taluni disegni, sul piano p  sarà riportata una griglia quadrata al fine di poter confrontare le posizioni reciproche degli elementi rappresentati nella vista assonometria con quelle rappresentate nella vista di fronte del piano p.
N.B. 4 - Si rammenta che l'apice su una notazione letterale significa "proiezione".

RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

Una retta generica r (cioè non parallela al piano di proiezione p, e non proiettante) è individuata su p da due punti: 1) il suo punto di incontro con p, detto traccia della retta e indicato con Tr; 2) l'immagine su p del suo punto improprio Fr, indicato con F'r. L'intera retta sarà rappresentata su p dalla sua proiezione r', cioè dalla congiungente la sua traccia Tr e l'immagine del suo punto improprio F'r. 
Per indicare gli elementi rappresentativi della retta r si scrive: r = (Tr; F'r).
Nella prospettiva il punto F'r è detto anche punto di fuga: tale locuzione, poiché è più breve, potrà essere impiegata qui come sinonimo di immagine del punto improprio della retta.
Per individuare la fuga di una retta r si traccia nello spazio la parallela alla retta passante per il centro di proiezione C: dove questa parallela incontra il quadro p individuiamo la fuga della retta r.
Caso particolare 1 - Quando la retta è parallela al piano di proiezione, caso escluso in precedenza, si ha che la sua traccia T'r è impropria, come pure lo è impropria la sua fuga F'r: entrambi sono relativi alla retta r, per cui sono coincidenti e, pertanto, non possiamo tracciare l'immagine r' della retta in modo univoco poiché per tale unico punto Tr = F'r passano infinite rette. 
In questo caso è necessario conoscere un punto qualsiasi della retta, poniamo Q, del quale troveremo la sua proiezione Q': la proiezione r' della retta sarà la congiungente Q' con Tr = F'r.
Caso particolare 2 - Se la retta, oltre ad essere parallela al quadro, si trova sul piano parallelo ad esso e passante per C, detto piano parallelo anteriore, allora la sua proiezione cadrà sul piano improprio t, e sarà rappresentata dalla retta impropria di p, però non potrà essere rappresentata sul foglio da disegno.

RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO
Un piano generico a (cioè non parallelo al piano di proiezione p, e non proiettante) è individuato su p da due rette: 1) la retta di incontro con p, indicata con t'a; 2) l'immagine su p della sua retta impropria fa, indicata con f'a.
Per indicare gli elementi rappresentativi del piano a si scrive: a = (ta; f'a).
Nella prospettiva la retta f'a è indicata come retta di fuga del piano a, e su di essa si troveranno le fughe di ciascuna retta appartenente al piano stesso. Un ruolo particolare nella prospettiva è rivestito dal piano orizzontale, talora indicato come piano di terra s, sul quale si trova la pianta della figura da rappresentare poi in prospettiva: tale piano è infatti rappresentato da due rette, e cioè dalla linea di terra e dalla linea di orizzonte, che non sono altro che la traccia e l'immagine della fuga di quel piano.
Per individuare nello spazio la fuga di un piano a occorre costruire un piano ad esso parallelo e passante per il centro di proiezione C: dove questo incontra il piano di proiezione p si ha la retta di fuga di tale piano.

RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO

Un punto P è rappresentato su p dalla sua proiezione P', che è la traccia su p della retta CP congiungente il centro di proiezione C e il punto stesso. Per quanto detto nel §-Generalità, tale rappresentazione è insufficiente per individuare la posizione del punto vero nello spazio per cui occorre che venga rappresentato, insieme al punto, anche un piano a o una retta r che lo contenga. Per indicare gli elementi rappresentativi del punto si scrive: P = (P'; ta; f'a) se è un piano che concorre alla rappresentazione del punto, oppure P = (P'; Tr; F'r) se è una retta.

L'OMOTETIA NELLA RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO (2)
Nella rappresentazione del punto, il quale sappiamo deve essere contenuto su una retta (o su un piano) al fine di determinarne una immagine univoca su p, è insita una omotetia (cioè una omologia caratterizzata da due centri di proiezione che proiettano su un medesimo piano una stessa figura che si trova su un piano parallelo a quello).
Infatti, gli elementi rappresentativi della retta r, cioè la traccia Tr e la fuga F'r sono le proiezioni di un unico punto Fr (punto improprio della retta r) su un medesimo piano p da due centri di proiezione differenti, rispettivamente P e C. La proiezione P' di P su p  è il centro di omologia su p  in quanto è il punto di incontro su p della congiungente i due centri di proiezione P e C. A fare in modo che si sia in presenza di una omotetia, e non di una omologia generale, concorre il fatto che Fr si trova sul piano all'infinito t, che è da considerare parallelo a p.

Come prima applicazione verifichiamo le considerazioni di cui sopra, a) nella incidenza di due rette in P; b) nella (duale) complanarità di due rette su un piano a:
a) se le due rette r ed s sono incidenti (in P), allora il punto Tr è omologo del punto F'r, come analogamente il punto Ts lo è di F's, (due punti omologhi sono allineati con il centro di omologia). La retta congiungente Tr e Ts ha la sua omologa nella retta congiungente F'r e F's, che sono tra loro parallele, (rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia, che, in questo caso, è la retta impropria del piano su cui si trovano, infatti p e il piano all'infinito t  sono paralleli tra loro).
b) se le due rette r ed s sono complanari (su a), allora la retta congiungente i punti Tr e Ts e la retta congiungente i punti F'r ed F's non sono altro che la traccia ta e la fuga f'a del piano a che le contiene. Infatti, per il principio di dualità, se due rette sono incidenti allora sono anche complanari.

RAPPRESENTAZIONE DI ENTI GEOMETRICI IN POSIZIONE PARTICOLARE

Per ora si lascia al lettore il compito di definirne gli elementi rappresentativi mediante la riflessione su quanto detto finora a proposito anche del piano all'infinito t, il cui impiego è indispensabile in tutti i casi in cui si devono esaminare elementi tra loro paralleli.
I principali casi sono: a) piano e retta paralleli al piano di proiezione p ; b) punto e retta appartenenti al piano parallelo anteriore.
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(1) - Si riporta un estratto dalla Introduzione alla Geometrie Descriptive del 1798: <... Quest'arte ha due scopi principali. Il primo é quello di rappresentare con esattezza, mediante disegni che hanno solo due dimensioni, gli oggetti che ne hanno tre, e che sono suscettibili di una definizione rigorosa. (...). Il secondo scopo della geometria descrittiva è di dedurre dalla descrizione esatta dei corpi [su un foglio piano] tutto ciò che discende necessariamente dalle loro forme o dalle loro rispettive posizioni. ... [nello spazio].
(2) - Vedi: Campedelli Luigi, Lezioni di geometria, Volume II, Parte I, I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, Ed. CEDAM, Padova 1960, pag. 89;
Enriques Federigo, Lezioni di geometria descrittiva, 1920, pag. 15;
Saccardi Ugo, Applicazioni della geometria descrittiva, Ed. L.E.F., Firenze 1977, pag. 118;
Chisini O. e Masotti-Biggiogero G., Lezioni di geometria descrittiva, Ed. Masson, Milano 1988, p. 83.