Il ribaltamento di un piano generico su uno dei due piani di proiezione, detto anche "quadro", ha lo scopo di ricavare la vera forma e la vera grandezza delle figure che si trovano su di esso, consentendo così di "misurare" le distanze tra punti e l'ampiezza dell'angolo tra rette di una figura piana (ovviamente, nella scala del disegno). Tale operazione consente di conoscere ogni dimensione della figura e raggiunge l'obiettivo che si prefiggeva Gaspard Monge (1746-1818) quando nella sua famosa Introduzione alla Geometria Descrittiva (1798) scriveva: "Il secondo scopo della geometria descrittiva é di dedurre dalla descrizione esatta dei corpi tutto ciò che discende necessariamente dalle loro forme o dalle loro rispettive posizioni".Ora vedremo i passaggi che occorre percorrere per giungere a tale risultato iniziando con il ribaltamento di un piano proiettante (§. A), e proseguendo con un piano generico (§. B). Nel corso della trattazione faremo esempi di misurazione di distanze e di angoli. Quanto sopra sarà corredato (§. C) di un elenco di esercizi sulla misura di lunghezze e di angoli. A margine della trattazione del ribaltamento vedremo (§. D) come sia possibile dedurre indirettamente la condizione di ortogonalità tra retta e piano in questo metodo di rappresentazione facendo uso soltanto dei concetti relativi al ribaltamento.
A) Ribaltamento di un piano proiettante
Nella tav. 1 è rappresentato un piano proiettante beta contenente una retta q.2) Nella tav. 2 il piano beta è stato fatto ruotare intorno alla sua traccia prima, t'beta, fino ad adagiarlo sul piano orizzontale pigreco1.
Tenendo presente che le tracce di un piano proiettante sono tra loro ortogonali, è stata costruita la traccia seconda di beta, (t"beta), ortogonalmente alla traccia prima di beta, t'beta, e passante per il vertice del piano Vbeta, poi è stata riportata la T"q con il compasso facendo centro nel vertice del piano, Vbeta.
Congiungendo la traccia seconda della retta q ribaltata, (T"q), con la traccia prima di q, T'q, è stata costruita la retta q ribaltata, (qbeta), considerata, per l'appunto, appartenente al piano beta.
Su tale ribaltamento è ora possibile eseguire la misura sia dell'angolo di q con la traccia prima del piano beta, alfa1, (analogamente per l'angolo con la traccia seconda, alfa2) sia la lunghezza della porzione di q che si trova tra le sue due tracce, che è risultata di mm 42.
E' da notare che alfa1 misura anche l'inclinazione della retta q con il piano orizzontale in quanto l'angolo si trova su un piano ad esso ortogonale, mentre alfa2 non misura l'algolo della retta q con il piano verticale in quanto beta non è ortogonale al piano verticale: per poter effettuare anche la misura dell'inclinazione della retta q con il piano verticale occorre costruire per essa un piano proiettante in seconda proiezione.
Nella tav. 3 è stato costruito un triangolo equilatero con base sulla retta q mediante l'altezza, individuando il vertice ribaltato (V).
Proiettando tale vertice sulla traccia prima del piano beta, che lo contiene, né e stata individuata la proiezione prima V'. Quindi, con costruzione inversa al ribaltamento, è stata individuata anche la proiezione seconda V", ottenendo su beta la seconda proiezione del triangolo equilatero (preleva la tav. 3 stampabile).
B) Ribaltamento di un piano generico
1) Nella tav. 1 è rappresentato un piano e, su di esso, due rette: una orizzontale, la r, e l'altra di massima pendenza, la s, che, quindi, è ortogonale per costruzione alla r.2) Nella tav. 2, che è la prosecuzione della tav. 1, è stato costruito un piano beta proiettante in prima proiezione e passante per la retta di massima pendenza s (che funge da retta comune ai due piani alfa e beta). Poiché le tracce di un piano sono le sole sue parti già in vera grandezza nel disegno, osserviamo che la distanza tra il vertice del piano alfa, Valfa, e la T"s della retta s è già una "vera" grandezza: nell'eseguire il ribaltamento del piano alfa sul piano di proiezione orizzontale intorno alla sua t'alfa, tale distanza dovrà conservarsi immutata; inoltre, la retta s è di massima pendenza per il piano alfa, cioè è ortogonale alla t'alfa e, pertanto, dopo il ribaltamento dovrà mantenersi tale. Per tracciare il ribaltamento della retta s sul quadro pigreco1 è sufficiente che da T's si tracci una retta ortogonale a t"alfa, che prenderà il nome di retta s ribaltata (ovviamente, sul piano orizzontale) e sinteticamente verrà indicata son (s). Per riportare la lunghezza del segmento di s compreso tra le sue due tracce su (s) è sufficiente eseguire la rotazione, con centro nel vertice del piano, come in tav. 2.
3) Nella tav. 3 abbiamo eseguito il ribaltamento del piano alfa sul piano di proiezione orizzontale, tracciando la (t"alfa) passante per il vertive del piano alfa, Valfa, e la (T"s) già individuata alla tav. 2.
La retta orizzontale ribaltata (r) verrà costruita su tale ribaltamento del piano alfa con la considerazione che dovrà essere parallela alla t'alfa (che per definizione è orizzontale poiché si trova sul piano orizzontale di proiezione e che durante il ribaltamento non ha subito spostamenti dal momento che funge da asse-cerniera del ribaltamento stesso). Un punto qualsiasi P che si trovi sulla retta orizzontale r verrà ruotato nel suo ribaltamento (P) portandolo ortogonalmente alla t'alfa da P' su (r).
4) Nella tav. 4 analogamente a quanto avvenuto per il punto P (in tav. 3), possiamo ribaltare qualsiasi punto che si trovi sul piano alfa costruendo per esso una retta orizzontale su alfa ed eseguendo le medesime costruzioni fatte per il punto P. In tal modo è possibile misurare la distanza tra qualsiasi coppia di punti del piano alfa. Qui viene presentato il ribaltamento di un triangolo (parte in colore rosso).Per quanto riguarda la misura dell'ampiezza dell'angolo formato da due rette a e b comunque inclinate che si trovino sul piano alfa occorre ribaltare la traccia seconda di ciascuna di esse (che ovviamente per l'appartenenza si trova sulla t"alfa) e portarla, con la solita rotazione intorno a Valfa, sulla (t"alfa), poi congiungere con la traccia prima (che, altrettanto ovviamente, sta sulla t'alfa, e quindi non si è spostata durante la rotazione). Possiamo così misurare la "vera" ampiezza dell'angolo ab mediante il ribaltamento (a) e (b) delle due rette che lo definiscono.
Nella tav. 4 il triangolo APQ risuta essere retto sul vertice A (ed avremmo dovuto capirlo dalla posizione delle rette che vi convergono in quanto le abbiamo costruite ad angolo retto essendo la retta r orizzontale e la s una retta di massima pendenza). Inoltre i suoi lati, nella scala del disegno, hanno le seguenti misure: cateto AQ = mm 13,5; cateto AP = mm 20,5; ipotenusa PQ = mm 24,5. L'ampiezza degli angoli con vertice in P e Q sarà misurata con il goniometro direttamente sul ribaltamento in (P) e (Q) (preleva la tav. 4 stampabile).
5) Il problema inverso di quello di "misurare" distanze tra punti ed angoli tra rette è il problema di "costruire" figure di forma e dimensioni assegnate su un piano alfa. Per cui, data una figura piana di cui siano note le lunghezze dei lati e l'ampiezza degli angoli tra due lati, occorre disegnare tale figura sul ribaltamento del piano alfa, ed eseguire le costruzioni finora esposte nell'ordine inverso, ottenendo così la prima e la seconda proiezione di tale figura.
6) L'omologia che si riscontra tra il ribaltamento della figura e la prima proiezione della stessa figura, come sarà maggiormente spiegato nel post 8, risulta evidente constatando che il prolungamento della prima proiezione P'Q' ed il prolungamento dell'ipotenusa ribaltata (PQ) si incontrano nel medesimo punto della t'alfa che, pertanto, è l'asse dell'omologia, mentre il centro di omologia è improprio in direzione ortogonale all'asse (si tratta di una affinità nella quale le due prospettività che la generano hanno centri di prospettività entrambi impropri, a differenza del caso già presentato nel post sulle trasformazioni che aveva i due centri di prospettività entrambi propri).
Con questa constatazione possiamo disegnare il ribaltamento della figura, una volta ottenuto il ribaltamento di un punto del piano alfa, utilizzando le due proprietà già note, come spiegato nel relativo post sull'omologia (punti omologhi sono allineati con il centro, rette omologhe si incontrano sull'asse).
N.B. - La faccia del piano alfa ribaltato in vista nei disegni è quella inferiore. Pertanto nel costruire una figura occorre avere l'accortezza di disegnare sul ribaltamento di alfa la figura vista dalla parte della faccia opposta rispetto a come dovrà trovarsi nelle proiezioni.
C) Esercizi sui problemi di misura
Riporto la parte di esercizi sui problemi di misura tratto dall'elenco del post 9 sulle proiezioni ortogonali.
23-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra due punti
24-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due piani paralleli
25-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette parallele
26-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e una retta
27-PO-MIS-PF - Misurare la distanza tra un punto e un piano
28-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due rette (incidenti)
29-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra due piani
30-PO-MIS-PF - Misurare l’angolo tra una retta e un piano
31-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra due rette sghembe
32-PO-MIS-PC - Misurare la distanza tra un punto e un piano
33-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra una retta e un piano di proiezione
34-PO-MIS-PC - Misurare l’angolo tra un piano generico e un piano di proiezione
D) L'ortogonalità tra retta e piano desumibile dal ribaltamento
L'argomento è stato già trattato nel post precedente enunciando le condizioni di ortogonalità tra retta e piano. Ora vogliamo dedurre tali condizioni indirettamente mediante l'esame del disegno congiunto del ribaltamento di un piano generico e di uno proiettante ad esso ortogonale.
1) Nella tav. D1 vediamo il piano generico alfa, ortogonalmente al quale è stato portato il piano proiettante beta: la retta q è la retta comune ad essi. Il piano proiettante beta è stato ribaltato sul piano orizzontale pigreo1, facendolo ruotare intorno alla sua traccia prima. Con esso abbiamo trasportato anche la T"q, per cui abbiamo potuto costruire il ribaltamento della retta q su pigreco1 considerato appartenente a beta. Quindi abbiamo preso un punto (Q) (con colore rosso) sulla retta (q) e, con procedimento inverso al ribaltamento, abbiamo trovato la posizione di Q' e di Q".2) Nella tav. D2 abbiamo costruito l'ortogonale alla (q) (con colore rosso) , e su di essa abbiamo preso un punto qualsiasi (V) al fine di poterne costruire la posizione nella prima e nella seconda proiezione.
3) Nella tav. D3 è stata individuata la posizione della prima e della seconda proiezione, V' e V", del punto V: tale operazione ha consentito di disegnare la retta r che, pertanto, risulta ortogonale al piano alfa nel punto Q. Se ora esaminiamo su pigreco1 l'inclinazione della prima proiezione della retta r rispetto alla traccia prima del piano alfa, riscontriamo che sono tra loro ortogonali, e la stessa cosa accade sul piano pigreco2 (preleva la tav. D3 stampabile).
Ciò consente di ribadire la condizione di ortogonalità tra retta e piano come la conosciamo già e di convincerci dell'apparente stranezza del confronto tra una proiezione (della retta) e una traccia (del piano) che, pur essendo di genere diverso, nel caso dell'ortogonalità, vanno messe a confronto.
Questa procedura, insieme a quelle esaminate nel §. A e nel §. B, consente di costruire segmenti di altezza data ortogonalmente ad un piano generico e, pertanto, viene impiegata per la costruzione di solidi di dimensioni assegnate sul piano alfa.
