Quadro generale di riferimento delle applicazioni.
Le applicazioni verranno esposte prossimamente: per ora se ne elencano gli argomenti.
- Prospettiva
- Anamorfosi
- Fotogrammetria
- Teoria delle ombre
- Rappresentazione delle superfici coniche (vedi Enriques, Lezioni di g.d., pag. 181).
- Scenografia e bassorilievo
- Riflessi su specchio.
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N.B. - Per l'intero testo di Federigo Enriques sulla geometria descrittiva vedi University of Michigan, Historical Math Collection.
Le proiezioni centrali 4: condizioni di parallelismo
IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI GENERICI
La condizione generale di parallelismo nella proiezione centrale si esprime dicendo:Due enti geometrici sono paralleli se uno di essi ha la fuga su quella dell'altro.
Si può parlare di parallelismo a) tra due rette, b) tra due piani e c) tra una retta e un piano. Esaminiamo i tre casi:
a) se le due rette r ed s sono parallele tra loro allora avranno una stessa immagine, R’∞ ≡ S’∞ , dei loro punti impropri, R∞ ed S’∞ .
b) se i due piani a e b sono paralleli tra loro (in analogia con il caso delle rette) allora avranno la stessa immagine, a’∞ ≡ b’∞ , delle loro rette improprie, a∞ e b∞;
c) se la retta a è parallela al piano b allora l'immagine A’∞ del punto improprio, A∞ , della retta a sta sull'immagine a’∞ della retta impropria a∞ del piano a .
Inoltre, rette ortogonali al quadro p avranno l'immagine del punto improprio coincidente con il punto C' di incontro della perpendicolare per C con il quadro.
Questo caso particolare di parallelismo è stato usato dai padri fondatori della prospettiva centrale e, nel Nord Europa, era chiamato come prospettiva degli italiani. Ghiberti, Brunelleschi, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca ne hanno fatto uso non solo in tante opere pittoriche e scultoree, ma anche in architetture se si pensi che le piante di tanti edifici pubblici, soprattutto le chiese, venivano pensati come prospettiva centrale, e ciò a conferma di fattori religiosi presenti da oltre un millennio nella cultura cristiana relativamente al valore simbolico dell'asse di percorrenza, dalla porta d'ingresso fino all'altare, come un lungo cammino dove l'uomo peccatore si porta al cospetto del Dio, posto nel punto di concorso della prospettiva centrale (punto principale prospettico, in questi disegni indicato con C').
IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI IN POSIZIONI PARTICOLARI
Rette parallele al quadro p avranno le immagini tra loro parallele, mentre piani paralleli al quadro p, non avendo elementi rappresentativi propri (perché si trovano all'infinito), possono essere rappresentati solo mediante le rette che ne delimitano una parte (ad es.: un quadrato o un rettangolo); queste rette che ne delimitano una parte, inoltre, dovranno essere rappresentate ciascuna mediante due punti e, ovviamente ciascuno di essi deve essere rappresentato mediante una retta non parallela al quadro.
Le proiezioni centrali 3: condizioni di appartenenza
La condizione di appartenenza nella proiezione centrale si esprime dicendo che:
due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi.
Sviluppiamo questo concetto riferendoci alle ultime due figure del post precedente, le figure n. 3 e n. 4:
a) una retta r appartiene ad un piano a se i suoi elementi rappresentativi stanno su quelli omonimi del piano, ovvero se Tr appartiene a ta e F'r appartiene a f'a;
b) un piano a passa per una retta r se ... vale l'inverso di quanto detto in a);
c) un punto P appartiene ad una retta r se la sua proiezione P' appartiene alla proiezione r' della retta r;
d) un punto P appartiene ad un piano a se il punto P sta su una retta che appartiene al piano a . La retta, in questo caso, rende possibile la verifica se il punto P sta sul piano a, in quanto il punto P ha come elemento rappresentativo una proiezione, P', mentre il piano ha come elementi rappresentativi due rette, ta e f'a, che sono di genere diverso da quello dell'immagine del punto.
Nella figura, è evidente che la pianta del piede della simpatica signorina non sta su (= appartiene) la superficie della Torre di Pisa. Ma se non sapessimo, per esperienza diretta, quanto è grande quella torre allora potremmo pure credere all'effetto voluto dal simpatico fotografo (da questo sito web).
due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi.
Sviluppiamo questo concetto riferendoci alle ultime due figure del post precedente, le figure n. 3 e n. 4:
a) una retta r appartiene ad un piano a se i suoi elementi rappresentativi stanno su quelli omonimi del piano, ovvero se Tr appartiene a ta e F'r appartiene a f'a; b) un piano a passa per una retta r se ... vale l'inverso di quanto detto in a);
c) un punto P appartiene ad una retta r se la sua proiezione P' appartiene alla proiezione r' della retta r;
d) un punto P appartiene ad un piano a se il punto P sta su una retta che appartiene al piano a . La retta, in questo caso, rende possibile la verifica se il punto P sta sul piano a, in quanto il punto P ha come elemento rappresentativo una proiezione, P', mentre il piano ha come elementi rappresentativi due rette, ta e f'a, che sono di genere diverso da quello dell'immagine del punto.
Nella figura, è evidente che la pianta del piede della simpatica signorina non sta su (= appartiene) la superficie della Torre di Pisa. Ma se non sapessimo, per esperienza diretta, quanto è grande quella torre allora potremmo pure credere all'effetto voluto dal simpatico fotografo (da questo sito web).
Le proiezioni centrali 2: rappresentazione degli enti geometrici
GENERALITA'
Proiettare un punto P che si trova nello spazio, da un centro di proiezione C, significa costruire la retta che passa per i due punti P e C; la successiva sezione mediante un piano di proiezione p individua il punto P' di intersezione della retta CP con tale piano p. Il punto P' su p viene detto immagine, oppure rappresentazione, del punto P.
E' evidente che da tale immagine P' non è possibile risalire all'esatta posizione del punto P nello spazio, poiché tutti i punti che stanno sulla retta proiettante CP hanno la medesima immagine in P'.
Dopo aver eseguito la proiezione ed aver individuato il punto P' su p, cioè dopo aver eseguito il disegno, è necessario poter risalire in modo univoco alla posizione originaria del punto P nello spazio, come dice Gaspard Monge nella sua Introduzione alla Geometria Descrittiva del 1798 (1) che, se pure era contenuta nel suo libro dedicato prevalentemente alle Proiezioni Ortogonali, ha validità assolutamente generale, e deve essere applicabile a qualsiasi metodo di rappresentazione della geometria descrittiva.
Occorre, pertanto, far passare per esso una retta, oppure un piano, che verranno detti ausiliari e che, ovviamente, non devono essere proiettanti, cioè non devono passare per il centro di proiezione C.
A tale scopo inizieremo la rappresentazione degli enti geometrici nella proiezione centrale dalla retta e dal piano, e non dal punto, anche se esso è il più elementare ente geometrico tra tutti e tre.
Occorre ricordare, infine, che nello spazio, oltre al piano di proiezione p e al centro di proiezione C, vi è sempre anche il piano improprio (che indicheremo con t), il cui impiego ausiliario, dal momento che contiene le rette improprie di tutti i piani dello spazio e i punti impropri di tutte le rette dello spazio, è indispensabile in tutti i casi in cui si presentano problemi di parallelismo, in quanto è su di esso che andranno cercate le posizioni di punti e rette impropri veri, le cui proiezioni, invece, si troveranno sul piano p, e saranno indicate con una lettera con apice (ad es.: A'∞ oppure F'∞ per le proiezioni dei punti impropri A∞ ed F∞, ed r'∞ oppure o'∞ per l'immagine delle rette improprie r∞ ed o∞).
N.B. 1 - Nei disegni a corredo di questo post faremo uso di un piano di proiezione p verticale (vedi qui i motivi già linkati nel post precedente).
N.B. 2 - Per rendere più comprensibile la posizione spaziale degli elementi disegnati faremo uso di un'assonometria, mediante un piano di riferimento assonometrico ausiliario s che avrà giacitura orizzontale e, dunque, ortogonale al piano di proiezione p, anche se le considerazioni teoriche saranno valide per qualunque inclinazione reciproca dei due piani.
N.B. 3 - In taluni disegni, sul piano p sarà riportata una griglia quadrata al fine di poter confrontare le posizioni reciproche degli elementi rappresentati nella vista assonometria con quelle rappresentate nella vista di fronte del piano p.
N.B. 4 - Si rammenta che l'apice su una notazione letterale significa "proiezione".
RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA
Per indicare gli elementi rappresentativi della retta r si scrive: r = (Tr; F'r).
Nella prospettiva il punto F'r è detto anche punto di fuga: tale locuzione, poiché è più breve, potrà essere impiegata qui come sinonimo di immagine del punto improprio della retta.
Per individuare la fuga di una retta r si traccia nello spazio la parallela alla retta passante per il centro di proiezione C: dove questa parallela incontra il quadro p individuiamo la fuga della retta r.
Caso particolare 1 - Quando la retta è parallela al piano di proiezione, caso escluso in precedenza, si ha che la sua traccia T'r è impropria, come pure lo è impropria la sua fuga F'r: entrambi sono relativi alla retta r, per cui sono coincidenti e, pertanto, non possiamo tracciare l'immagine r' della retta in modo univoco poiché per tale unico punto Tr = F'r passano infinite rette.
In questo caso è necessario conoscere un punto qualsiasi della retta, poniamo Q, del quale troveremo la sua proiezione Q': la proiezione r' della retta sarà la congiungente Q' con Tr = F'r.
Caso particolare 2 - Se la retta, oltre ad essere parallela al quadro, si trova sul piano parallelo ad esso e passante per C, detto piano parallelo anteriore, allora la sua proiezione cadrà sul piano improprio t, e sarà rappresentata dalla retta impropria di p, però non potrà essere rappresentata sul foglio da disegno.
RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO
Un piano generico a (cioè non parallelo al piano di proiezione p, e non proiettante) è individuato su p da due rette: 1) la retta di incontro con p, indicata con t'a; 2) l'immagine su p della sua retta impropria fa, indicata con f'a.Per indicare gli elementi rappresentativi del piano a si scrive: a = (ta; f'a).
Nella prospettiva la retta f'a è indicata come retta di fuga del piano a, e su di essa si troveranno le fughe di ciascuna retta appartenente al piano stesso. Un ruolo particolare nella prospettiva è rivestito dal piano orizzontale, talora indicato come piano di terra s, sul quale si trova la pianta della figura da rappresentare poi in prospettiva: tale piano è infatti rappresentato da due rette, e cioè dalla linea di terra e dalla linea di orizzonte, che non sono altro che la traccia e l'immagine della fuga di quel piano.
Per individuare nello spazio la fuga di un piano a occorre costruire un piano ad esso parallelo e passante per il centro di proiezione C: dove questo incontra il piano di proiezione p si ha la retta di fuga di tale piano.
RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO
L'OMOTETIA NELLA RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO (2)
Nella rappresentazione del punto, il quale sappiamo deve essere contenuto su una retta (o su un piano) al fine di determinarne una immagine univoca su p, è insita una omotetia (cioè una omologia caratterizzata da due centri di proiezione che proiettano su un medesimo piano una stessa figura che si trova su un piano parallelo a quello).Infatti, gli elementi rappresentativi della retta r, cioè la traccia Tr e la fuga F'r sono le proiezioni di un unico punto Fr (punto improprio della retta r) su un medesimo piano p da due centri di proiezione differenti, rispettivamente P e C. La proiezione P' di P su p è il centro di omologia su p in quanto è il punto di incontro su p della congiungente i due centri di proiezione P e C. A fare in modo che si sia in presenza di una omotetia, e non di una omologia generale, concorre il fatto che Fr si trova sul piano all'infinito t, che è da considerare parallelo a p.
Come prima applicazione verifichiamo le considerazioni di cui sopra, a) nella incidenza di due rette in P; b) nella (duale) complanarità di due rette su un piano a:
a) se le due rette r ed s sono incidenti (in P), allora il punto Tr è omologo del punto F'r, come analogamente il punto Ts lo è di F's, (due punti omologhi sono allineati con il centro di omologia). La retta congiungente Tr e Ts ha la sua omologa nella retta congiungente F'r e F's, che sono tra loro parallele, (rette omologhe si incontrano sull'asse di omologia, che, in questo caso, è la retta impropria del piano su cui si trovano, infatti p e il piano all'infinito t sono paralleli tra loro).
b) se le due rette r ed s sono complanari (su a), allora la retta congiungente i punti Tr e Ts e la retta congiungente i punti F'r ed F's non sono altro che la traccia ta e la fuga f'a del piano a che le contiene. Infatti, per il principio di dualità, se due rette sono incidenti allora sono anche complanari.
RAPPRESENTAZIONE DI ENTI GEOMETRICI IN POSIZIONE PARTICOLARE
I principali casi sono: a) piano e retta paralleli al piano di proiezione p ; b) punto e retta appartenenti al piano parallelo anteriore.
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(1) - Si riporta un estratto dalla Introduzione alla Geometrie Descriptive del 1798: <... Quest'arte ha due scopi principali. Il primo é quello di rappresentare con esattezza, mediante disegni che hanno solo due dimensioni, gli oggetti che ne hanno tre, e che sono suscettibili di una definizione rigorosa. (...). Il secondo scopo della geometria descrittiva è di dedurre dalla descrizione esatta dei corpi [su un foglio piano] tutto ciò che discende necessariamente dalle loro forme o dalle loro rispettive posizioni. ... [nello spazio].
(2) - Vedi: Campedelli Luigi, Lezioni di geometria, Volume II, Parte I, I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva, Ed. CEDAM, Padova 1960, pag. 89;
Enriques Federigo, Lezioni di geometria descrittiva, 1920, pag. 15;
Saccardi Ugo, Applicazioni della geometria descrittiva, Ed. L.E.F., Firenze 1977, pag. 118;
Chisini O. e Masotti-Biggiogero G., Lezioni di geometria descrittiva, Ed. Masson, Milano 1988, p. 83.
Le proiezioni centrali 1: elementi di riferimento e modo di proiettare
PIANO DI PROIEZIONE
Le proiezioni centrali sono un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva che impiega un solo piano di proiezione, comunemente detto piano pigreco che, nella terminologia della prospettiva, è detto quadro e indicato con p, lettera minuscola dell'alfabeto greco.
CENTRO DI PROIEZIONE
Il centro di proiezione C è un punto proprio, cioè a distanza non infinita dal piano di proiezione e, nella prospettiva, rappresenta la posizione dell'occhio dell'osservatore. Pertanto, ci troviamo di fronte ad una proiezione centrale o proiezione conica, dove le rette proiettanti, dette anche raggi visivi, sono convergenti in un punto proprio.
CERCHIO DI DISTANZA
Ricordando un precedente post che descrive la necessità dell'impiego di due piani di proiezione nei metodi di rappresentazione, occorre introdurre un altro elemento che possa fornire le informazioni metriche che avrebbe dovuto fornire quel secondo piano di proiezione, ora mancante.
Tale funzione viene svolta dal cerchio di distanza: infatti non è sufficiente, come nella prospettiva (che si vedrà più oltre), conoscere la posizione sul quadro della proiezione ortogonale del centro di proiezione (nella terminologia della prospettiva chiamato punto principale e indicato con PP oppure P), ma occorre anche conoscere la sua distanza dal quadro.
Il cerchio di distanza ha raggio CP e centro in P sul piano di proiezione p. Maggiore sarà la distanza del centro di proiezione C dal quadro p, più grande sarà il cerchio di distanza.
Le informazioni metriche fornite dal cerchio di distanza, tuttavia, sono necessarie solo quando si tratta di "misurare" qualche valore, sia esso una distanza come pure l'ampiezza di un angolo, ma per quanto riguarda i problemi di incidenza (detti anche problemi di appartenenza) e per i problemi di parallelismo tale cerchio di distanza è inessenziale. Infatti il suo impiego avviene quando abbiamo problemi di ortogonalità, ovvero la costruzione di un angolo di ampiezza pari a 90°, e quando si debba ribaltare un piano generico sul piano di proiezione pigreco per misurare la distanza tra due punti o l'ampiezza dell'angolo formato da due rette.
MODO DI PROIETTARE
Le figure dello spazio vengono proiettate sul piano di proiezione p dal centro di proiezione proprio C. Su p si configura, quindi, l'immagine piana dei corpi spaziali, e tale immagine è la sezione mediante il piano p della stella di rette e della stella di piani con centro in C (rette e piani proiettanti).
PIANO PARALLELO ANTERIORE
Il piano passante per C parallelamente al quadro p, detto piano parallelo anteriore, non può essere rappresentato su p, poiché tutti i suoi punti e tutte le sue rette avranno l'immagine sulla retta impropria del quadro (sezione del quadro p con il piano all'infinito p ). In questo caso per rappresentare punti e rette appartenenti ad esso occorre servirsi di un artificio che illustreremo nel prossimo post.
Nota - Nei disegni che saranno a corredo dei vari post relativi alle proiezioni centrali crediamo sia più efficace visivamente disporre il piano di proiezione verticalmente poiché la visione umana avviene generalmente in direzione pressoché orizzontale (vedi più estese considerazioni sulla posizione del piano di proiezione nei metodi di rappresentazione della geometria descrittiva).
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Altri argomenti possono essere desunti da questo sito web che riporta la voce "Prospettiva" scritta da Decio Gioseffi nell'Enciclopedia Universale dell'Arte (Sansoni Editore, Firenze 1963).
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