Le proiezioni ortogonali 2: rappresentazione degli enti geometrici

INTRODUZIONE
Gli elementi mediante i quali si rappresentano gli enti geometrici sono di due tipi:
a) la proiezione sul piano di proiezione;
b) la traccia sul piano di proiezione, cioè l'elemento di incontro tra l'ente che stiamo considerando e uno dei piani di proiezione: se stiamo trattando di una retta, allora avremo che una sua traccia sarà costituita da un punto, mentre se stiamo considerando un piano, allora la sua traccia sarà una retta.
Se, ad esempio, impieghiamo due piani di proiezione, allora avremo due proiezioni (una su ciascun piano), oppure due tracce, oppure due proiezioni e due tracce, a seconda dell'ente geometrico che stiamo considerando.
Occorre fare una netta distinzione tra proiezione e traccia in quanto, pur trovandosi entrambi, ovviamente, su un piano di proiezione, sono di genere diverso: la proiezione non è un punto "vero" ma, per l'appunto, una proiezione, cioè una "immagine" della figura, mentre la traccia è un punto vero.

RAPPRESENTAZIONE
I punti vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: A, B, C, P, Q, ecc.. Le rette vengono indicate mediante le lettere minuscole dell'alfabeto latino, ad esempio: a, b, c, r, s, ecc.. I piani vengono indicati mediante le lettere minuscole dell'alfabeto greco, ad esempio: alfa, beta, gamma, ecc. (nel testo si indicheranno per esteso in quanto il blog non dispone dell'alfabeto greco, mentre nelle figure si indicheranno con la lettera greca vera e propria).
Se impieghiamo due piani di proiezione (vedi figura):
1) un punto P è rappresentato mediante le sue due proiezioni P' e P" le quali si trovano su una stessa "retta di richiamo" ortogonalmente alla linea di terra l;
2) una retta r è rappresentata mediante le sue due proiezioni r' ed r" (che sono rette), oppure mediante le sue due tracce T'r e T"r (che sono punti). Conoscendo le proiezioni di una retta, si possono ricavare le tracce della medesima retta: dove una proiezione incontra la linea di terra si traccia una retta perpendicolare ad essa (retta di richiamo) e, all'incontro di questa con l'altra proiezione della retta, si trova la traccia della retta con lo stesso apice (esempio: T'r su r', e T"r su r").
3) un piano alfa è rappresentato mediante le sue due tracce alfa' ed alfa" (che sono rette) e che si incontrano nello stesso punto sulla linea di terra (detto "vertice del piano").


CONSIDERAZIONI
Nelle applicazioni occorre confrontare, cioè mettere in correlazione, solo proiezioni di punti con proiezioni di rette (che sono entrambi del genere "proiezioni"), oppure solo tracce di rette con tracce di piani (che sono entrambi del genere "tracce"), oppure proiezioni di rette con tracce di rette (che sono relative allo stesso ente geometrico retta), ma non è possibile mettere in correlazione le proiezioni di un punto con le tracce di un piano (che non sono né dello stesso genere, né relativi allo stesso ente geometrico).
Nello schema sono indicati gli enti geometrici (riga in alto) e, con un pallino nero, il tipo di elementi rappresentativi di ciascuno, coiè se sono proiezioni oppure tracce.
Occorre anche ricordare che, quando due rette sono parallele (esempio, le proiezioni di una retta, oppure le tracce di un piano), il loro punto di incontro esiste comunque e si trova all'infinito (e per questo motivo non potremo disegnarlo sul foglio da disegno, ma potremo solo indicarlo con una nota apposta sopra un segmentino a doppia freccia che ne rappresenta la direzione).
In questi casi, generalmente, non è più possibile rappresentare in modo "univoco" quell'ente geometrico, ed è necessario ricorrere al un terzo piano di proiezione, disposto ortogonalmente ai precedenti due, dove ricercheremo gli elementi rappresentativi di quell'ente.

Le proiezioni ortogonali 1: elementi di riferimento e modo di proiettare

Le proiezioni ortogonali sono un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva che impiega due proiezioni, e per tale motivo sono dette bicentrali, o "doppie proiezioni ortogonali". Lo studioso che ne ha portato la teoria e l'applicazione a quanto ad oggi conosciuto è Gaspard Monge (1746-1818), e per tale motivo si suole chiamarle anche "proiezioni mongiane".

Gli elementi di riferimento sono costituiti da:
a) due piani di proiezione, pigreco1 e pigreco2, disposti nello spazio ortogonalmente tra loro;
b) due centri di proiezione impropri, C1 e C2, (uno per ciascun piano di proiezione) con direzione ortogonale al rispettivo piano su cui proiettano (dunque le due proiezioni sono proiezioni parallele e, pertanto, conservano il parallelismo).

Lo spazio risulta, pertanto, diviso in 4 diedri retti, due sopra al piano pigreco1 e due sotto oppure due davanti al piano pigreco2 e due dietro e, per convenzione, sono così numerati:
- il I° diedro è quello dove di trova l'osservatore (dizione impropria in quanto, come detto sopra, i due centri sono all'infinito);
- il II° diedro è quello sopra al piano pigreco1 e oltre il piano pigreco2;
- il III° diedro è quello posto sotto al piano pigreco1 e oltre il piano pigreco2;
- il IV° diedro è quello posto sotto al I° diedro.

I due piani di proiezione, pigreco1 e pigreco2, si incontrano secondo una retta, generalmente indicata con l, detta linea di terra, o retta di riferimento nel disegno. Tale retta divide ciascun piano di proiezione in due semipiani, per cui i quattro semipiani verranno indicati come anteriore e posteriore per il piano pigreco1, superiore ed inferiore per il piano pigreco2.

Di solito l'oggetto da rappresentare viene collocato nel I° diedro per facilità di visualizzazione e per semplificare le costruzioni da eseguire. Tuttavia, come vedremo in seguito, alcune costruzioni potranno interessare anche gli altri diedri.

Finora abbiamo illustrato il metodo nello spazio, ma poiché dobbiamo eseguire i nostri disegni su un foglio piano dobbiamo esaminare come ciò sia possibile: in pratica, dopo aver eseguito le due proiezioni sui due piani pigreco1 e pigreco2 disposti nello spazio, ci si riporta ad un unico piano che, lo ripeto, è il piano del disegno, mediante un ribaltamento del piano pigreco2 (vedi in questo post) intorno alla linea di terra l fino ad adagiarlo su pigreco1, il che equivale ad una proiezione da un centro C3 improprio disposto ortogonalmente al piano bisettore del II° e IV° diedro.
Dopo questa operazione di ribaltamento avremo che il semipiano superiore di pigreco2 è sovrapposto al semipiano posteriore di pigreco1, e il semipiano inferiore di pigreco2 è sovrapposto al semipiano anteriore di pigreco1 e, pertanto, essendo ora i due piani coincidenti con il foglio da disegno, possiamo eseguire tutte le costruzioni su di esso.
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Vedi anche Enriques Federigo, Lezioni di geometria descrittiva, Zanichelli, 1920, pag. 49, relativa al passaggio proiettivo dalla proiezione centrale a quella parallela, in merito ai metodi delle proiezioni ortogonali e dell'assonometria ortogonale e obliqua.

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Vedi come avviene il modo di proiettare un oggetto su tre piani di proiezione, anziché su due come fatto sopra, in questa pagina del sito web sulla geometria descrittiva del Politecnico di Varsavia (Polonia); esplora anche le altre pagine del sito.

Le proiezioni centrali 10: applicazioni

Quadro generale di riferimento delle applicazioni.
Le applicazioni verranno esposte prossimamente: per ora se ne elencano gli argomenti.
- Prospettiva
- Anamorfosi
- Fotogrammetria
- Teoria delle ombre
- Rappresentazione delle superfici coniche (vedi Enriques, Lezioni di g.d., pag. 181).
- Scenografia e bassorilievo
- Riflessi su specchio.
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N.B. - Per l'intero testo di Federigo Enriques sulla geometria descrittiva vedi University of Michigan, Historical Math Collection.

Le proiezioni centrali 9: esercitazioni

Le proiezioni centrali 8: impiego dell'omologia

Le proiezioni centrali 7: cambiamento del piano di proiezione

Le proiezioni centrali 6: il ribaltamento di un piano generico sul quadro

Le proiezioni centrali 5: condizioni di perpendicolarità

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Le proiezioni centrali 4: condizioni di parallelismo

IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI GENERICI
La condizione generale di parallelismo nella proiezione centrale si esprime dicendo:
Due enti geometrici sono paralleli se uno di essi ha la fuga su quella dell'altro.
Si può parlare di parallelismo a) tra due rette, b) tra due piani e c) tra una retta e un piano. Esaminiamo i tre casi:

a) se le due rette r ed s sono parallele tra loro allora avranno una stessa immagine, R’_∞ ≡ S’_∞ , dei loro punti impropri, R_∞ ed  S’_{∞ .} 
b) se i due piani a e b  sono paralleli tra loro (in analogia con il caso delle rette) allora avranno la stessa immagine, a’_∞ ≡ b’_∞ , delle loro rette improprie, a_∞  e  b_{∞;
c) se la retta a è parallela al piano} b  allora l'immagine A’_∞ del punto improprio, A_∞ , della retta a sta sull'immagine a’_∞ della retta impropria  a_∞ del piano a .
Inoltre, rette ortogonali al quadro p  avranno l'immagine del punto improprio coincidente con il punto C'  di incontro della perpendicolare per C con il quadro. 

Questo caso particolare di parallelismo è stato usato dai padri fondatori della prospettiva centrale e, nel Nord Europa, era chiamato come prospettiva degli italiani. Ghiberti, Brunelleschi, Leon Battista Alberti e Piero della Francesca ne hanno fatto uso non solo in tante opere pittoriche e scultoree, ma anche in architetture se si pensi che le piante di tanti edifici pubblici, soprattutto le chiese, venivano pensati come prospettiva centrale, e ciò a conferma di fattori religiosi presenti da oltre un millennio nella cultura cristiana relativamente al valore simbolico dell'asse di percorrenza, dalla porta d'ingresso fino all'altare, come un lungo cammino dove l'uomo peccatore si porta al cospetto del Dio, posto nel punto di concorso della prospettiva centrale (punto principale prospettico, in questi disegni indicato con C').

IL PARALLELISMO NEI CASI DI RETTE E PIANI IN POSIZIONI PARTICOLARI
Rette parallele al quadro p  avranno le immagini tra loro parallele, mentre piani paralleli al quadro p, non avendo elementi rappresentativi propri (perché si trovano all'infinito), possono essere rappresentati solo mediante le rette che ne delimitano una parte (ad es.: un quadrato o un rettangolo); queste rette che ne delimitano una parte, inoltre, dovranno essere rappresentate ciascuna mediante due punti e, ovviamente ciascuno di essi deve essere rappresentato mediante una retta non parallela al quadro.

Le proiezioni centrali 3: condizioni di appartenenza

La condizione di appartenenza nella proiezione centrale si esprime dicendo che:
due enti geometrici si appartengono se si appartengono i rispettivi elementi omonimi rappresentativi.
Sviluppiamo questo concetto riferendoci alle ultime due figure del post precedente, le figure n. 3 e n. 4:
a) una retta r appartiene ad un piano a se i suoi elementi rappresentativi stanno su quelli omonimi del piano, ovvero se Tr appartiene a ta e F'r appartiene a f'a; 
b) un piano a  passa per una retta r se ... vale l'inverso di quanto detto in a); 
c) un punto P appartiene ad una retta r se la sua proiezione P' appartiene alla proiezione r' della retta r;
d) un punto P appartiene ad un piano a  se il punto P sta su una retta che appartiene al piano a . La retta, in questo caso, rende possibile la verifica se il punto P sta sul piano a, in quanto il punto P ha come elemento rappresentativo una proiezione, P', mentre il piano ha come elementi rappresentativi due rette, ta e f'a, che sono di genere diverso da quello dell'immagine del punto.

Nella figura, è evidente che la pianta del piede della simpatica signorina non sta su (= appartiene) la superficie della Torre di Pisa. Ma se non sapessimo, per esperienza diretta, quanto è grande quella torre allora potremmo pure credere all'effetto voluto dal simpatico fotografo (da questo sito web).